(4) (b) Suponha que g x = f c x . Usando a definição de derivada, prove que g ' x = c f ' c x .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que provar que se g x = f c x , sendo c uma constante, que g ' x = c f ' c x pela definição de derivada.

Parece complicado, não é? 🤔

A derivada de uma função pela definição é obtida a partir da equação

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Então se aplicarmos essa definição para g x temos que provar que a igualdade g ' x = c f ' c x é válida.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar aplicando a equação da derivada para a função g x ...

g ' x = lim h → 0 ⁡ g x + h - g x h

Se g x = f c x então g x + h = f c x + h

g ' x = lim h → 0 ⁡ f c x + h - f c x h

g ' x = lim h → 0 ⁡ f c x + c h - f c x h

Multiplicando o numerador e o denominador por c , temos

g ' x = lim h → 0 ⁡ c f c x + c h - f c x c h

g ' x = c lim h → 0 ⁡ f c x + c h - f c x c h

Se fizermos k = c h e fazer k → 0

g ' x = c lim k → 0 ⁡ f c x + k - f c x k

Da definição de derivada mostrada no passo 1, se fizermos x = c x e h = k , então

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h → f ' c x = lim k → 0 ⁡ f c x + k - f c x k

Comparando g ' x com f ' c x vemos que g ' x é igual a c multiplicado por f ' c x , portanto

g ' x = c lim k → 0 ⁡ f c x + k - f c x k = c f ' c x

g ' x = c f ' c x

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

g ' x = c f ' c x

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