Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. (Veja Texto 2) Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado. (Veja vídeo)

  1. f(x) = 1 x , a = -2

Passo 1

Então galerinha, suave? Primeiramente, a questão nos pede para calcular a derivada da função usando a definição, daí, basta a gente lembrar a definição de derivada, que é:

f ’(x) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Pois bem, agora que temos a fórmula, vamos atrás dos valores para substituir na equação e desenvolvermos para acharmos o limite que que representa a derivada da equação:

  1. f ( x + h ) = 1 x + h    
  2. f x =   1 x

Agora, basta substituir na fórmula e desenvolvermos esse limite, que ficará:

lim ⁡ h → 0 ⁡ 1 x + h     -   1 x h (I)

Passo 2

Chegamos nessa equação (I), pois agora vamos simplifica-la. Para retirarmos o h do denominador que o torna nulo, para que a gente não caia numa indeterminação. Então começaremos tirando o mmc entre as frações do numerador, e multiplicando pelo inverso do denominador:

l i m h → 0 x - ( x + h ) x ( x + h ) .   1 h = l i m h → 0 x - x - h ) x ( x + h ) .   1 h =     l i m h → 0 - h x ( x + h ) .   1 h

l i m h → 0 - 1 x ( x + h )

Perfeito, nos livramos do h que tornaria nosso denominador nulo, agora basta aplicarmos o valor de h e calcularmos o limite, irá ficar assim:

l i m h → 0 - 1 x ( x + h ) =   - 1 x x + 0 =   - 1 x 2 (II)

Passo 3

Agora vamos para o segundo ponto da questão que é determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado. Então vamos primeiro lembrar a equação da reta tangente? A equação da reta tangente é a seguinte:

y - f a = m   .   ( x - a )

Onde o coeficiente angular m é, exatamente, o que a gente chama de derivada da função no ponto, mas que ponto? Para essa questão o ponto a = -2. É o mesmo que f’(a), sendo mais específico f’(-2). Então vamos calcular o valor da derivada no ponto a = -2. Nós já temos a função derivada, que foi encontrada mais acima, que representamos por (II), logo, basta substituirmos o valor de x por -2.

m = f ' - 2 = - 1 - 2 2   = - 1 4

Passo 4

Achamos o valor de m, agora só aplicarmos na fórmula, junto ao ponto (a, f(a)), que são os seguintes:

  • a =   - 2
  • f a = f - 2 = - 1 2

Pronto, encontramos todos os valores necessários para substituir na equação, então vamos para a substituição e desenvolver a expressão que encontrarmos:

y - - 1 2 =   - 1 4   . x - - 2 =   - 1 4 x - 1 2 -   1 2

y =   - 1 4 x - 1

E é isso, finalizamos a questão, por fim, encontramos o valor da reta tangente.

Resposta

b) f’(x) = - 1 x 2 (derivada da função encontrada pela definição);

y =   - 1 4 x - 1 (equação da reta tangente no ponto (a,f(a)) ∴ (-2, - 1 2 ) ).

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