(3) Usando a definição de derivada, prove que

(a) se g x = f x + c , onde c é uma constante, então g ' x = f ' x .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que provar que se g x = f x + c , sendo c uma constante, que g ' x = f ' x pela definição de derivada.

Parece complicado, não é? 🤔

A derivada de uma função pela definição é obtida a partir da equação

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Então se aplicarmos essa definição para g x temos que provar que a igualdade g ' x = f ' x é válida.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar aplicando a equação da derivada para a função g x ...

g ' x = lim h → 0 ⁡ g x + h - g x h

Agora, como g x = f x + c , então por c ser uma constante e não estar diretamente relacionada a x , se substituirmos x por x + h o que vamos ter é g x + h = f x + h + c

Substituindo essas informações na equação, vamos obter

g ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h + c - f x + c h

g ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h + c - f x - c h

Simplificando + c com - c ...

g ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Mas o que é lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h ? Justamente f ' x , não é? 😬

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h → g ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

g ' x = f ' x

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

g ' x = f ' x

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