Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' x 0 e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0 , f x 0

  1. f x = 4 x - 3 x 2   e   x 0 = 2

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos primeiro entender o que esse enunciado louco tá querendo dizer pra gente, beleza?

Bem, o mais importante é a gente lembrar a definição de derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

E agora lembrar qual é a fórmula da reta tangente em um dado ponto.

y - f x 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Vamos então fazer por etapa essa questão, primeiro fazendo sua derivada e depois encontrando a reta tangente.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada, vamos ter:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 4 x + h - 3 x + h 2 - ( 4 x - 3 x 2 ) h

Vamos desenvolver esse algebrismo aí!!

4 x + 4 h - 3 x 2 - 6 x h - 3 h 2 - 4 x + 3 x 2 h = 4 h + 6 x h + 3 h 2 h = 4 - 6 x - 3 h

Agora resolvendo o limite, encontramos a derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 4 - 6 x - 3 h = 4 - 6 x

E no ponto x 0 = 2 , a derivada fica:

f ' x 0 = 2 = 4 - 6 2 = - 8

Passo 3

Agora vamos encontrar nossa reta tangente:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

O enunciado nos deu o valor de x 0 = 2 , então vamos encontrar o valor de f ( x 0 ) . E o f ' x 0 a gente já calculou no passo anterior.

f x 0 = 2 = 4 2 - 3 2 2 = - 4

f ' x 0 = 2 = - 8

Substituindo na equação da reta tangente, temos:

y + 4 = - 8 x - 2

y + 4 = - 8 x + 16

y = - 8 x + 12

Resposta

f ' x 0 = - 8

y = - 8 x + 12

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