1 - Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no

ponto indicado:

e) f(x) = (x + x^3) + (x^5 - 3x^2 + x) , em a = 0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, queremos aplicar a definição de derivada para obter a derivada da função f x = x + x 3 x 5 - 3 x 2 + x no ponto a = 0 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

A derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função em relação a sua variável independente, no caso “ x ”.

O cálculo da definição de derivada é dado pela fórmula

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Então primeiro podemos encontrar a derivada de f e depois substituir no ponto a .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se f x = x + x 3 x 5 - 3 x 2 + x , podemos desenvolver esse produto para obtermos um polinômio.

f x = x + x 3 x 5 - 3 x 2 + x = x 8 + x 6 - 3 x 5 + x 4 - 3 x 3 + x 2

Então f x + h = x + h 8 + x + h 6 - 3 x + h 5 + x + h 4 - 3 x + h 3 + x + h 2 .

Substituindo na definição...

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 8 + x + h 6 - 3 x + h 5 + x + h 4 - 3 x + h 3 + x + h 2 - x 8 + x 6 - 3 x 5 + x 4 - 3 x 3 + x 2 h

Desenvolvendo os termos x + h 8 , x + h 6 , x + h 5 , x + h 4 , x + h 3 e x + h 2 , temos

x + h 8 = x 8 + 8 x 7 h + 28 x 6 h 2 + 56 x 5 h 2 + 56 x 5 h 3 + 70 x 4 h 4 + 56 x 3 h 5 + 28 x 2 h 6 8 x h 7 + h 8

x + h 6 = x 6 + 6 x 5 h + 15 x 4 h 2 + 20 x 3 h 3 + 15 x 2 h 4 + 6 x h 5 + h 6

x + h 5 = x 5 + 5 x 4 h + 10 x 3 h 2 + 10 x 2 h 3 + 5 x h 4 + h 5

x + h 4 = x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4

x + h 3 = x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3

E finalmente

x + h 2 = x 2 + 2 x h + h 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Vai ficar uma equação imensa, mas substituindo em f x + h - f x primeiramente...

f x + h - f x = x + h 8 + x + h 6 - 3 x + h 5 + x + h 4 - 3 x + h 3 + x + h 2 - x 8 + x 6 - 3 x 5 + x 4 - 3 x 3 + x 2

f x + h - f x = x 8 + 8 x 7 h + 28 x 6 h 2 + 56 x 5 h 2 + 56 x 5 h 3 + 70 x 4 h 4 + 56 x 3 h 5 + 28 x 2 h 6 + 8 x h 7 + h 8 + x 6 + 6 x 5 h + 15 x 4 h 2 + 20 x 3 h 3 + 15 x 2 h 4 + 6 x h 5 + h 6 - 3 x 5 + 5 x 4 h + 10 x 3 h 2 + 10 x 2 h 3 + 5 x h 4 + h 5 + x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4 - 3 x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 + x 2 + 2 x h + h 2 - x 8 - x 6 + 3 x 5 - x 4 + 3 x 3 - x 2

f x + h - f x = x 8 + 8 x 7 h + 28 x 6 h 2 + 56 x 5 h 2 + 56 x 5 h 3 + 70 x 4 h 4 + 56 x 3 h 5 + 28 x 2 h 6 + 8 x h 7 + h 8 + x 6 + 6 x 5 h + 15 x 4 h 2 + 20 x 3 h 3 + 15 x 2 h 4 + 6 x h 5 + h 6 - 3 x 5 - 15 x 4 h - 3 0 x 3 h 2 - 3 0 x 2 h 3 - 15 x h 4 - 3 h 5 + x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4 - 3 x 3 - 9 x 2 h - 9 x h 2 - 3 h 3 + x 2 + 2 x h + h 2 - x 8 - x 6 + 3 x 5 - x 4 + 3 x 3 - x 2

Perceba que podemos simplificar alguns termos dessa equação imensa

f x + h - f x = 8 x 7 h + 28 x 6 h 2 + 56 x 5 h 2 + 56 x 5 h 3 + 70 x 4 h 4 + 56 x 3 h 5 + 28 x 2 h 6 + 8 x h 7 + h 8 + 6 x 5 h + 15 x 4 h 2 + 20 x 3 h 3 + 15 x 2 h 4 + 6 x h 5 + h 6 - 15 x 4 h - 30 x 3 h 2 - 30 x 2 h 3 - 15 x h 4 - 3 h 5 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4 - 9 x 2 h - 9 x h 2 - 3 h 3 + 2 x h + h 2

Está acompanhando? 👀

Passo 4

Colocando h em evidência, temos

f x + h - f x = h 8 x 7 + 28 x 6 h + 56 x 5 h + 56 x 5 h 2 + 70 x 4 h 3 + 56 x 3 h 4 + 28 x 2 h 5 + 8 x h 6 + h 7 + 6 x 5 + 15 x 4 h + 20 x 3 h 2 + 15 x 2 h 3 + 6 x h 4 + h 5 - 15 x 4 - 30 x 3 h - 30 x 2 h 2 - 15 x h 3 - 3 h 4 + 4 x 3 + 6 x 2 h + 4 x h 2 + h 3 - 9 x 2 - 9 x h - 3 h 2 + 2 x + h

Substituindo em f ' x , podemos cortar o h do numerador com o h do denominador...

f ' x = lim h → 0 ⁡ h 8 x 7 + 28 x 6 h + 56 x 5 h + 56 x 5 h 2 + 70 x 4 h 3 + 56 x 3 h 4 + 28 x 2 h 5 + 8 x h 6 + h 7 + 6 x 5 + 15 x 4 h + 20 x 3 h 2 + 15 x 2 h 3 + 6 x h 4 + h 5 - 15 x 4 - 30 x 3 h - 30 x 2 h 2 - 15 x h 3 - 3 h 4 + 4 x 3 + 6 x 2 h + 4 x h 2 + h 3 - 9 x 2 - 9 x h - 3 h 2 + 2 x + h / h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 8 x 7 + 28 x 6 h + 56 x 5 h + 56 x 5 h 2 + 70 x 4 h 3 + 56 x 3 h 4 + 28 x 2 h 5 + 8 x h 6 + h 7 + 6 x 5 + 15 x 4 h + 20 x 3 h 2 + 15 x 2 h 3 + 6 x h 4 + h 5 - 15 x 4 - 30 x 3 h - 30 x 2 h 2 - 15 x h 3 - 3 h 4 + 4 x 3 + 6 x 2 h + 4 x h 2 + h 3 - 9 x 2 - 9 x h - 3 h 2 + 2 x + h

E aplicando o limite fazendo h = 0 , temos que todos os termos que dependem de h vão a 0 , ou seja.

f ' x = lim h → 0 ⁡ 8 x 7 + 28 x 6 h + 56 x 5 h + 56 x 5 h 2 + 70 x 4 h 3 + 56 x 3 h 4 + 28 x 2 h 5 + 8 x h 6 + h 7 + 6 x 5 + 15 x 4 h + 20 x 3 h 2 + 15 x 2 h 3 + 6 x h 4 + h 5 - 15 x 4 - 30 x 3 h - 30 x 2 h 2 - 15 x h 3 - 3 h 4 + 4 x 3 + 6 x 2 h + 4 x h 2 + h 3 - 9 x 2 - 9 x h - 3 h 2 + 2 x + h = 8 x 7 + 6 x 5 - 15 x 4 + 4 x 3 - 9 x 2 + 2 x

f ' x = 8 x 7 + 6 x 5 - 15 x 4 + 4 x 3 - 9 x 2 + 2 x

Complicadinho, né? 😐

Passo 5

E por fim, aplicando o ponto a = 0 substituindo x = 0 em f x , temos

f ' x = 8 x 7 + 6 x 5 - 15 x 4 + 4 x 3 - 9 x 2 + 2 x

f ' 0 = 8 0 7 + 6 0 5 - 15 0 4 + 4 0 3 - 9 0 2 + 2 0

f ' 0 = 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = 8 x 7 + 6 x 5 - 15 x 4 + 4 x 3 - 9 x 2 + 2 x ,     f ' 0 = 0

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