4. Derive as funções abaixo:

c) h x = 1 - c o t g x 1 + c o s s e c x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função h x mas como essa função não é simplesmente um polinômio, vamos ter que aplicar algum método para nos auxiliar nessa tarefa.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Nesse caso temos o quociente entre duas funções, então podemos usar a regra do quociente para nos ajudar.

Dada uma função h x = f x g x , pela regra do quociente, a derivada de h x é

h ' x = f ' x · g x - f x · g ' x g 2 x

Entendeu? Bora ver no nosso caso como é! 😉

Passo 2

Se h x = 1 - c o t g x 1 + c o s s e c x , então f x = 1 - c o t g x e g x = 1 + c o s s e c x . Aplicando a regra, temos

h ' x = d 1 - c o t g x d x · 1 + c o s s e c x - 1 - c o t g x · d 1 + c o s s e c x d x 1 + c o s s e c x 2

Pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas

d 1 - c o t g x d x = c o s s e c 2 x

d 1 + c o s s e c x d x = - c o t g x c o s s e c x

Substituindo em h ' x

h ' x = c o s s e c 2 x · 1 + c o s s e c x - 1 - c o t g x · - c o t g x c o s s e c x 1 + c o s s e c x 2

Organizando a resposta...

h ' x = c o s s e c 2 x 1 + c o s s e c x + 1 - c o t g x c o t g x c o s s e c x 1 + c o s s e c x 2

h ' x = c o s s e c x c o s s e c x 1 + c o s s e c x + c o t g x 1 - c o t g x 1 + c o s s e c x 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

h ' x = c o s s e c x c o s s e c x 1 + c o s s e c x + c o t g x 1 - c o t g x 1 + c o s s e c x 2

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