4. Derive as funções abaixo:

d) k x = ln ⁡ x + s e n x cos ⁡ x + e x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função k x mas como essa função não é simplesmente um polinômio, vamos ter que aplicar algum método para nos auxiliar nessa tarefa.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Nesse caso temos o quociente entre duas funções, então podemos usar a regra do quociente para nos ajudar.

Dada uma função k x = f x g x , pela regra do quociente, a derivada de k x é

k ' x = f ' x · g x - f x · g ' x g 2 x

Entendeu? Bora ver no nosso caso como é! 😉

Passo 2

Se k x = ln ⁡ x + s e n x cos ⁡ x + e x , então f x = ln ⁡ x + s e n x e g x = cos ⁡ x + e x .

Aplicando a regra do quociente

k ' x = d ln ⁡ x + s e n x d x · cos ⁡ x + e x - ln ⁡ x + s e n x · d cos ⁡ x + e x d x cos ⁡ x + e x 2

As derivadas de ln ⁡ x , s e n x , cos ⁡ x e e x são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo.

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos que

d ln ⁡ x + s e n x d x = d ln ⁡ x d x + d s e n x d x

d cos ⁡ x + e x d x = d cos ⁡ x d x + d e x d x

Aplicando o teorema fundamental do cálculo, vamos obter que

d ln ⁡ x + s e n x d x = 1 x + cos ⁡ x

d cos ⁡ x + e x d x = - s e n x + e x

Substituindo em k ' x

k ' x = 1 x + cos ⁡ x · cos ⁡ x + e x - ln ⁡ x + s e n x · - s e n x + e x cos ⁡ x + e x 2

Organizando um pouquinho...

k ' x = 1 x + cos ⁡ x cos ⁡ x + e x + ln ⁡ x + s e n x s e n x - e x cos ⁡ x + e x 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

k ' x = 1 x + cos ⁡ x cos ⁡ x + e x + ln ⁡ x + s e n x s e n x - e x cos ⁡ x + e x 2

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