4. Derive as funções abaixo:

b) g x = x 3 s e n x t g x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função g x mas como essa função não é simplesmente um polinômio, vamos ter que aplicar algum método para nos auxiliar nessa tarefa.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Nesse caso, como temos o produto de duas funções, podemos usar a regra do produto para obter essa derivada.

Dada uma função g x = f x · h x , a regra do produto diz que

g ' x = f ' x · h x + f x · h ' x

Entendeu? Bora aplicar no nosso caso! 😁

Passo 2

Nesse caso, temos um produto de três funções

g x = x 3 s e n x t g x

Então vamos ter que adicionar mais uma interação na derivada de g

Chamando f x = x 3 , h x = s e n x e adicionando p x = t g x , temos

g ' x = f ' x · h x · p x + f x · h ' x · p x + f x · g x · p ' x

Então aplicando no nosso caso, vamos ter

g ' x = d x 3 d x · s e n x ·   t g x + x 3 · d s e n x d x · t g x + x 3 · s e n x · d t g x d x

Pelo método de integração polinomial, temos que

d x 3 d x = 1 3 x 2 3

Já pelo teorema fundamental do cálculo, temos que

d s e n x d x = cos ⁡ x

d t g x d x = s e c 2 x

Substituindo em g ' x

g ' x = 1 3 x 2 3 · s e n x ·   t g x + x 3 · cos ⁡ x · t g x + x 3 · s e n x · s e c 2 x

Se t g x = s e n x cos ⁡ x e sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , então

g ' x = s e n 2 x   3 x 2 3 cos ⁡ x + x 3 s e n x + x 3 s e n x c o s 2 x

g ' x = s e n x s e n x   3 x 2 3 cos ⁡ x + x 3 + x 3 c o s 2 x

g ' x = s e n x s e n x   3 x 2 3 cos ⁡ x + x 3 1 + 1 c o s 2 x

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

g ' x = s e n x s e n x   3 x 2 3 cos ⁡ x + x 3 1 + 1 c o s 2 x

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