Use o exercício anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das funções

abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.

(a) tan ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x )

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Como estão?

Nesse exercício precisamos fazer 2 coisas. Primeiro precisamos derivar a função. E depois, precisamos encontrar as assíntotas verticais.

Mas repara que o exercício já dá uma dica, que é pra gente usar o exercício anterior e a regra do quociente. Então vamos relembrar!

Para resolver essa questão vamos derivar as funções trigonométricas utilizando o limite fundamental.

Vamos utilizar as seguintes relações trigonométricas ao longo da questão, então lembre-se delas:

sin ⁡ a + b = sin ⁡ a cos ⁡ b + cos ⁡ a sin ⁡ b             ( I )

cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ ( a ) cos ⁡ b - sin ⁡ a sin ⁡ b                 ( I I )

tan ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x )                         ( I I I )

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular a derivada da tan ⁡ ( x ) , utilizando o limite fundamental.

tan ' ⁡ ( x ) = lim h → 0 ⁡ f h - f ( x ) h = lim h → 0 ⁡ tan ⁡ ( h + x ) - tan ⁡ ( x ) h

Agora vamos aplicar a equação de ( I I I ) , que diz que t a n x = s e n x cos ⁡ x :

lim h → 0 ⁡ tan ⁡ ( h + x ) - tan ⁡ ( x ) h = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ ( h + x ) cos ⁡ ( h + x ) - sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) h

Pela relação ( I ) e ( I I ) , podemos reescrever o limite como:

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ ( h + x ) cos ⁡ ( h + x ) - sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) h = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ h cos ⁡ x + cos ⁡ h sin ⁡ x cos ⁡ ( h ) cos ⁡ x - sin ⁡ h sin ⁡ x - sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) h

Passo 3

Vamos tirar usar o múltiplo comum das frações do numerador

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x sin ⁡ h cos ⁡ x + cos ⁡ h sin ⁡ x - sin ⁡ ( x ) ( cos ⁡ ( h ) cos ⁡ x - sin ⁡ h sin ⁡ x ) ( cos ⁡ ( h ) cos ⁡ x - sin ⁡ h sin ⁡ x ) ( cos ⁡ x ) h

Não se assuste com o tamanho do limite, vamos simplificá-lo, beleza? Aqui vamos multiplicar tudo

lim h → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x sin ⁡ h cos ⁡ x + cos ⁡ h sin ⁡ x - ( sin ⁡ x cos ⁡ h sin ⁡ ( x ) - sin 2 ⁡ x sin ⁡ h ) ( cos ⁡ ( h ) cos 2 ⁡ x - sin ⁡ h sin ⁡ x cos ⁡ x ) h

Passo 4

Podemos simplificar as expressões com sinaisl contrários e obtemos

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ h ( cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x ) ( cos ⁡ ( h ) cos 2 ⁡ x - sin ⁡ h sin ⁡ x cos ⁡ x ) h

Aqui, observe que

cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x = 1

cos ⁡ ( 0 ) = 1

sin ⁡ 0 = 0

Logo, temos

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ h ( 1 ) ( 1 cos 2 ⁡ x - ( 0 ) sin ⁡ x cos ⁡ x ) ( 0 ) = 1 cos 2 ⁡ ( x )

Ufa! Achamos a derivada! Agora vamos pras assíntotas verticais.

Passo 5

Para calcular a assíntota vertical, devemos calcular os limites laterais no ponto em que a função possui indeterminação

tan ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x )

Note que o cosseno não pode ser zero, pois está no denominador

cos ⁡ ( x ) ≠ 0

O ponto em que o cosseno zera é π 2

Então pela direita

lim h → π / 2 + ⁡ sin ⁡ x > 0 cos ⁡ ( x ) < 0   = - ∞

Pela esquerda

lim h → π / 2 + ⁡ sin ⁡ x > 0 cos ⁡ ( x ) > 0   = ∞

Temos uma assíntota vertical num ponto, quando pelo menos um dos limites laterais nesse ponto tende a + ∞ ou - ∞

Como l i m h → π / 2 + = - ∞ e l i m h → π / 2 + = ∞ , π / 2 é uma assíntota

Prontinhoooo! Finalizamos!

Resposta

tan ⁡ x ' = 1 cos 2 ⁡ ( x )

π / 2 é uma assíntota

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