4 . Calcule o fluxo através da esfera unitária centrada na origem, de dentro para fora da esfera, do campo vetorial

F → = x 3 i ^ + y 3 j ^ + z 3 k ^ .

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para calcular esse fluxo através da origem vamos usar o teorema de Gauss ao nosso favor que é dada por:

∬ F → ⋅ n →   d S = ∭ ∇ ⋅ F →   d V

Basicamente quando temos uma integral de superfície de um campo vetorial, onde essa superfície é fechada, podemos fazer essa igualdade e transforma em uma integral tripla no volume da superfície.

A superfície que estamos mexendo é uma esfera centrada na origem com raio igual a um já que ela é unitária.

Vamos as contas!

Passo 2

Primeiro vamos calcular o divergente de F → , temos:

∇ ⋅ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Onde no nosso caso temos:

P = x 3 ; Q = y 3 ; R = z 3

Então temos que:

∇ ⋅ F → = 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 = 3 ( x 2 + y 2 + z 2 )

Passo 3

Então nossa integral fica seguinte forma:

∭ 3 ( x 2 + y 2 + z 2 )   d x d y d z

Para resolver essa integral vamos usar coordenadas esféricas. Nessas coordenadas temos que r 2 = x 2 + y 2 + z 2 e que d x d y d z = r 2 sen ⁡ θ d r d θ d ϕ .

Com estamos mexendo com uma esfera e estamos interessados em todo seu volume, os limites de integração vão ser dados por:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ ϕ ≤ 2 π

Com isso nossa integral fica da seguinte forma:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 3 r 2 r 2 sen ⁡ θ d r d θ d ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 3 r 4 sen ⁡ θ d r d θ d ϕ

Passo 4

Vamos resolver essa integral então, temos:

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 r 4 sen ⁡ θ d r d θ d ϕ

= 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π r 5 5 0 1 sen ⁡ θ d θ d ϕ

= 3 5 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ d ϕ

= 3 5 ∫ 0 2 π - cos ⁡ θ 0 π d ϕ

= 3 5 ∫ 0 2 π ( 1 + 1 ) d ϕ

= 6 5 ∫ 0 2 π d ϕ

Então temos que:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 3 r 4 sen ⁡ θ d r d θ d ϕ = 12 π 5

Esse é o fluxo que o enunciado pede!

Resposta

12 π 5

Exercícios de Livros Relacionados