PUCRIO – Cálculo 3 – MAT1163 – 2020.2 – G3 – Discursiva
Calcule o fluxo através da esfera unitária centrada na origem, de dentro para fora da esfera, do campo vetorial
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve essa juntos!
Para calcular esse fluxo através da origem vamos usar o teorema de Gauss ao nosso favor que é dada por:
Basicamente quando temos uma integral de superfície de um campo vetorial, onde essa superfície é fechada, podemos fazer essa igualdade e transforma em uma integral tripla no volume da superfície.
A superfície que estamos mexendo é uma esfera centrada na origem com raio igual a um já que ela é unitária.
Vamos as contas!
Passo 2
Primeiro vamos calcular o divergente de , temos:
Onde no nosso caso temos:
Então temos que:
Passo 3
Então nossa integral fica seguinte forma:
Para resolver essa integral vamos usar coordenadas esféricas. Nessas coordenadas temos que e que .
Com estamos mexendo com uma esfera e estamos interessados em todo seu volume, os limites de integração vão ser dados por:
Com isso nossa integral fica da seguinte forma:
Passo 4
Vamos resolver essa integral então, temos:
Então temos que:
Esse é o fluxo que o enunciado pede!