Calculo 3 – USP – P2
Seja o seguinte campo de vetores
.
Considere as seguintes afirmações:
- , em que , .
- , em que .
- , em que , e é a normal a satisfazendo .
- , em que , e é a normal a satisfazendo .
Escolha uma:
- Apenas 3 afirmações são corretas.
- Apenas 2 afirmações são corretas.
- Nenhuma afirmação é correta.
- Apenas 1 afirmação é correta.
- Todas as afirmações são corretas
Passo 1
Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.
A nossa primeira afirmação nos diz que a integral é igual a 2 para uma , .
Então, o nosso trabalho é calcular a integral de linha do campo vetorial e confirmar se ele é igual a 2. Para isto, vamos precisar derivar inicialmente a nossa curva . Logo, derivando coordenada a coordenada, vamos obter:
Sendo assim, a nossa integral de linha será:
OBS: antes de continuarmos, é importante deixarmos claro que significa . Isto é, no lugar de teremos . Já no lugar de e , teremos respectivamente e . É apenas uma substituição, sacaram?
Então, continuando...
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente, para não nos confundirmos. Para quem não sacou a primeira integral, é exatamente . Ai ela sai fácil! Portanto,
Para a segunda integral, vamos fazer por partes. Portanto, se , temos . Se , então . Logo,
Por fim,
Logo,
Como a nossa integral de linha foi diferente de 2, então, a afirmação I é falsa!
Passo 2
Vamos resolver a afirmação II agora. Precisamos resolver uma integral tripla em um volume .
Antes de discutirmos um pouco sobre o formato desse volume e o sistema de coordenadas que devemos utilizar para resolver, vamos calcular o divergente do campo . Afinal, é a integral tripla do divergente.
Sendo assim, vamos para as contas! Então,
Olha só que beleza! Nossa integral tripla vai ser muito fácil de resolver! Ela será:
Portanto, a solução é exatamente o volume do sólido . Este sólido é exatamente a metade de uma esfera de raio 1 (pensa na metade de uma laranja). Portanto,
Então, a afirmação II é falsa!
Passo 3
Vamos resolver a afirmação III agora. Ela pede para nós verificarmos se
Em que é a superfície dada por , e é a normal a satisfazendo .
Então, como fizemos no Passo 2, vamos começar calculando o rotacional da nossa função. Portanto,
Eita beleza! Como o rotacional é o vetor nulo, a nossa integral será:
Percebam que o produto interno do vetor nulo com qualquer vetor é igual a 0, o qual será o valor da nossa integral.
Portanto, a afirmação III é verdadeira!
Passo 4
Para finalizarmos, vamos resolver a afirmação IV. Para isto, vamos utilizar o divergente que calculamos no Passo 2, para resolver a afirmativa II.
A ideia aqui é aplicarmos o teorema da divergência, o que nos dá a seguinte integral:
Lembrando que , conforme calculamos lá no Passo 2. O único ponto que devemos checar é em relação a orientação da nossa superfície, se ela possui uma orientação positiva.
Como a superfície é , mas para , então, o vetor normal deverá “apontar” para o lado negativo do eixo . Isto é, a sua primeira coordenada (vamos chamar aqui de ), o coeficiente que multiplica o vetor , será negativo. Então, ao fazermos o produto interno destes dois vetores, teremos:
E a relação acima é verdade, visto que a gente viu que é negativo! Portanto, está tudo perfeito para utilizarmos o teorema da divergência!
E assim, teremos o mesmo resultado que a gente encontrou no Passo 2, a metade da esfera, ou melhor, “metade da laranja”! Sendo assim,
E assim verificamos que a afirmação IV é falsa!
Portanto, a questão possui apenas 1 afirmação correta, e a resposta é a letra d.
Resposta
Apenas 1 afirmação é correta (letra d).