(Capítulo 16.9 – Exercício 7) Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = 3 x y 2 i → + x e z j → + z 3 k → , S   é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 1 e pelos planos x = - 1 e x = 2

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

Esse é um exercício Clássico de Teorema do Divergente.

Mas só um minuto! O que é issoooooo?

O Teorema do Divergente, também chamado Teorema de Gauss, estabelece uma relação entre a integral (derivada) do divergente de um campo vetorial F → sobre uma região com a integral de F → sobre a fronteira da região.

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x 3 x y 2 + ∂ ∂ y x e z + ∂ ∂ z z 3 = 3 y 2 + 3 z 2

Detalhe: na equação anterior, pegamos os elementos entre parênteses e derivamos pela variável do denominador. Por isso encontramos esse resultado.

Passo 2

A região de integração é um cilindro. Em coordenadas cilíndricas temos x = x ; y = r c o s θ   e   z = r s e n θ . Assim os limites das variáveis são:

{ - 1 ≤ x ≤ 2   0 ≤ r ≤ 1   0 ≤ θ ≤ 2 π  

E o diferencial de volume vai ser d V = r d x d r d θ

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

Executamos a integral de z primeiramente:

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 ( 3 y 2 + 3 z 2 ) r d x d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 3 r 3 d x d r d θ    

Executamos a integral de y :

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 r 3 x - 1 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 9 r 3 d r d θ =   ∫ 0 2 π 9 r 4 4 0 1 d θ

Executamos a integral de x para finalizar:

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 9 4 . θ 0 2 π = 9.2 π 4 = 9 π 2

Prontinho!!

Pra essa questão é isso, pessoal! Bora resolver mais uma?

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 9 π 2

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