Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 16, Seção 9, Exercício 7
(Capítulo 16.9 – Exercício 7) Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .
, é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos e
Passo 1
Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?
Esse é um exercício Clássico de Teorema do Divergente.
Mas só um minuto! O que é issoooooo?
O Teorema do Divergente, também chamado Teorema de Gauss, estabelece uma relação entre a integral (derivada) do divergente de um campo vetorial sobre uma região com a integral de sobre a fronteira da região.
Detalhe: na equação anterior, pegamos os elementos entre parênteses e derivamos pela variável do denominador. Por isso encontramos esse resultado.
Passo 2
A região de integração é um cilindro. Em coordenadas cilíndricas temos . Assim os limites das variáveis são:
E o diferencial de volume vai ser
Agora é só colocar na integral!
Passo 3
Executamos a integral de primeiramente:
Executamos a integral de :
Executamos a integral de para finalizar:
Prontinho!!
Pra essa questão é isso, pessoal! Bora resolver mais uma?