Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 16, Seção 9, Exercício 5
(Capítulo 16.9 – Exercício 5) Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .
, é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos , e .
Passo 1
Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?
Esse é um exercício Clássico de Teorema do Divergente.
Mas só um minuto! O que é issoooooo?
O Teorema do Divergente, também chamado Teorema de Gauss, estabelece uma relação entre a integral (derivada) do divergente de um campo vetorial sobre uma região com a integral de sobre a fronteira da região.
A questão pede pra gente calcular a integral de fluxo de sobre usando o teorema do divergente:
Assim, trocamos a integral de superfície de pela integral de volume do divergente!
Nesse caso, a região de integração é a caixa retangular:
Assim, aplicando na fórmula vamos ter que:
E desenvolvendo a integral ali em cima, temos que o divergente será:
Portanto,
Passo 2
Primeiro fazemos a integral em :
Portanto,
Agora integramos em :
Logo,
Por fim, fazendo a integral em :
Assim,
Desta forma, pelo teorema do divergente:
Pra essa questão é isso, pessoal! Bem simples, não é mesmo? Bora resolver mais uma então?