Questão 3: Use o Teorema da Divergência para calcular a integral
Onde é a esfera .
Passo 1
A nossa primeira missão nesse problema é entender o que queremos fazer e como vamos. Bem, a gente busca a solução de uma integral de superfície escalar:
E pretendemos encontrar a solução através do teorema da divergência (ou carinhosamente mais conhecido por nós como TEOREMA DE GAUSS)... Ou seja, essa igualdade entre integrais aqui:
Onde o sólido da integral tripla , é o sólido delimitado pela superfície onde a integral de superfície é calculada, ou seja, é a esfera de raio , o sólido é o interior:
Passo 2
Eu não sei se você percebeu, mas tem um probleminha aqui: o teorema da divergência trabalha com uma integral de superfície do caso vetorial, envolvendo um campo vetorial. E o qual o problema nisso?! ORA! Queremos encontrar o resultado de uma integral de superfície escalar e não vetorial:
MAS calma jovem! Nem tudo está perdido. Você se lembra de que todo produto escalar de dois vetores, nos gera um resultado escalar? Veja o exemplo:
Isso significa que se fizermos o produto dos vetores e o vetor norma na integral do caso vetorial
Vamos encontrar a integral escalar:
Então vamos ter que encontrar o vetor que satisfaça essa condição. Então depois podemos prosseguir com o cálculo utilizando Gauss, saca?
Passo 3
OK! Mas agora, quem é o vetor ? Ele é sempre o vetor unitário perpendicular à superfície que estamos trabalhando:
Para nós encontrarmos esse vetorzinho aí, teremos que fazer o seguinte: você se lembra daquela história de que o vetor gradiente é sempre perpendicular á superfície de nível de uma função? Pois então! A nossa superfície tem essa equação aqui, certo?
Não tem nenhuma função nela, mas veja que podemos falar que essa esfera é uma superfície de nível da função:
O legal que aí podemos calcular o vetor gradiente:
Como o vetor gradiente é sempre perpendicular à superfície de nível, esse vetor gradiente é o vetor normal ! (Viu que truque de matemática legal? Você sempre é permitido fazer isso para descobrir esse vetor normal, ok? Fique a dica ).
Só temos que tomar cuidado com uma coisa, é unitário:
Como (a superfície é uma esfera de raio )...
Eis o vetor normal unitário !
Passo 4
Mas sem mais delongas, como havíamos comentado lá no passo 2, precisamos encontrar tal que...
Então veja, que se o campo vetorial for , a gente tem pelo produto escalar...
Saca?
Passo 5
Então o campo finalmente foi descoberto. Podemos prosseguir com o cálculo pelo teorema da divergência...
Calculando o divergente do campo:
Onde , e são componentes do campo:
Então...
Logo, a integral tripla que vamos calcular é...
ORA! O que é a integral de ? É o volume do sólido ! Como esse sólido é uma esfera de raio ...
Passo 6
Então pelo teorema da divergência...
Ou seja, encontramos o resultado que queríamos desde o início :