Calcule ∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ , onde v → = ( x 2 + y e z , y 2 + z e x , z 2 + x e y ) e S é a fronteira da região limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 entre os planos z = 0 e z = x + 2 , orientada pela normal exterior.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular a integral de superfície

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ

tendo o campo vetorial dado por

v → = ( x 2 + y e z , y 2 + z e x , z 2 + x e y )

e S é uma superfície que tem fronteira delimitada pela intersecção do cilindro

x 2 + y 2 = 1

e, estabelecida entre os planos

z = 0 e z = x + 2

Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência de Gauss, já que o campo vetorial é meio chatinho! Temos que o teorema diz

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = ∫ ∫ ∫ V d i v ( v → ) d V

Muitas vezes é mais simples resolver a integral tripla do que calcular explicitamente a integral de superfície! Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular de cara a divergência do campo vetorial, temos por definição que

d i v ( v → ) = ∇ → ⋅ v → = ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z

em que

v → = ( v x , v y , v z ) = ( x 2 + y e z , y 2 + z e x , z 2 + x e y )

calculando as derivadas parciais e somando todos os termos, obtemos que a divergência tem a seguinte forma

d i v ( v → ) = [ 2 x ] + [ 2 y ] + [ 2 z ] = 2 [ x + y + z ]

bem mais simples não é? A nossa integral se torna então

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 2 ∫ ∫ ∫ V [ x + y + z ] d x d y d z

Mas, e qual é a nossa região? Vamos trabalhar com ela um pouco!

Passo 3

O sólido pode ser representado pela seguinte figura

Note que este é um cilindro cortado pelo plano z = x + 2 , portanto, podemos usar coordenadas cilíndricas para descrever a região mais fácilmente, usando que

x = r   c o s ( θ ) , y =   r   s e n ( θ ) e z = z

lembrando que em coordenadas cilíndricas temos d x d y d z = r   d r   d θ   d z . Note que 0 ≤ r ≤ 1 , e que 0 ≤ θ ≤ 2 π . Mas, a coordenada z , obedece o intervalo

0 ≤ z ≤ x + 2

ou melhor

0 ≤ z ≤ x + 2

Nossa integral se torna então

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 2 ∫ ∫ ∫ 0 x + 2 [ x + y + z ] d x   d y   d z

Integrando primeiramente em z , temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 2 ∫ ∫ x [ z ] | 0 x + 2 d x d y + 2 ∫ ∫ y   [ z ] | 0 x + 2 d x   d y + 1 2 ∫ ∫ [ z 2 ] | 0 x + 2 d x   d y  

Avaliando os limites, temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 2 ∫ ∫ x ( x + 2 ) d x d y + 2 ∫ ∫ y   ( x + 2 ) d x   d y   + ∫ ∫ ( x + 2 ) 2 d x   d y  

Expandindo nós temos então as seguintes integrais

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 2 ∫ ∫ x 2 d x d y + 4 ∫ ∫ x   d x d y + 2 ∫ ∫ y x   d x   d y   + 2 ∫ ∫ y   d x   d y + ∫ ∫ x 2   d x   d y + 4 ∫ ∫ x   d x   d y + 4 ∫ ∫ d x   d y

Podemos juntar algumas integrais para obter que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 ∫ ∫ x 2 d x d y + 5 ∫ ∫ x   d x d y + 2 ∫ ∫ y x   d x   d y   + 2 ∫ ∫ y   d x   d y + 4 ∫ ∫ d x d y

Ainda precisamos resolver nas outras duas direções! Mas para isso, será mais conveniente usarmos coordenadas polares! Vamos lá!

Passo 4

Em coordenadas polares, temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 c o s 2 ( θ ) d r d θ + 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 c o s ( θ )   d r d θ + 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 s e n ( θ ) c o s ( θ )   d r   d θ + 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 s e n ( θ )   d r   d θ + 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   d r   d θ

Vamos resolver primeiro as integrais em θ , temos que

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 c o s 2 ( θ ) d r d θ = 1 2 ∫ 0 1 r 3 d r [ ∫ 0 2 π d θ + ∫ 0 2 π c o s ( 2 θ ) d θ ] = 1 2 ∫ 0 1 r 3 d r [ θ | 0 2 π + 1 2 s e n ( 2 θ ) | 0 2 π ]

avaliando os limites, obtemos que

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 c o s 2 ( θ ) d r d θ = π ∫ 0 1 r 3 d r

Temos agora a segunda integral como

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 c o s ( θ )   d r d θ = ∫ 0 1 r 2 d r ∫ 0 2 π c o s ( θ ) d θ = ∫ 0 1 r 2 d r [ s e n ( θ ) ] | 0 2 π

avaliando os limites

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 c o s ( θ )   d r d θ = 0

Temos a seguinte integração que utilizar uma substituição simples

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 s e n ( θ ) c o s ( θ )   d r   d θ

feita da seguinte forma

u   =   s e n ( θ ) e d u = c o s ( θ ) d θ

nestas condições temos que u ( 0 ) = 0 e u ( 2 π ) = 0 , como os limites são iguais, necessariamente a integral se anula! Portanto

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 s e n ( θ ) c o s ( θ )   d r   d θ = 0

Temos também a integral

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 s e n ( θ )   d r   d θ = ∫ 0 1 r 2 d r [ c o s ( θ ) | 0 2 π ] = 0

e, por último, temos que

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   d r   d θ = ∫ 0 1 r d r [ θ | 0 2 π ] = 2 π ∫ 0 1 r   d r

Juntando todos os resultados, resta a seguinte integração para ser resolvida

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 π ∫ 0 1 r 3 d r + 8 π ∫ 0 1 r   d r

Vamos resolver as integrais que faltam agora!

Passo 5

Finalmente, integrando em r , temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 π [ 1 4 r 4 ] | 0 1 + 8 π [ 1 2 r 2 ] | 0 1 = 3 4 π + 4 π

Fazendo um MMC, temos que o resultado final é

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 4 π + 16 π 4 = 19 π 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 19 π 4

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Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial f → , através da superfície do sólido T ,sendo: f → = 2 i ^ + 2 j ^ = 2 k ^ e T a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4
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