Teorema de Gauss
Sejam e ; calcule
Onde , a superfície está orientada pelo vetor normal com coordenada negativa e pelo vetor normal com coordenada positiva.
Passo 1
Vamos começar com um esboço disso aí, temos um pedaço de cone cortado e uma pedaço de esfera:
Passo 2
Como esse campo tem uma expressão bizara, vamos tentar usar o Teorema de Gauss. Começarmos calculando esse divergente:
Passo 3
Aplicando o teorema
Sendo a região na figura acima, orientada positivamente.
Passo 4
Agora precisamos escrever essa região matematicamente. Vamos usar coordenadas esféricas:
Como vemos pela figura, o raio vai desde zero até a superfície da esfera, dada por . Sabemos que porque temos uma volta completa em torno do eixo .
O ângulo vai desde até a superfície do cone, que, em coordenadas esféricas, é dada por:
Levando o que temos para a integral:
Passo 5
Agora é só resolver isso ai
Isso nos dá