Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 16, Seção 9, Exercício 18
(Capítulo 16.9 – Exercício 18) Seja . Determine o fluxo de através da parte do paraboloide que está acima do plano e tem orientação descendente.
Passo 1
Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?
Para calcular o fluxo através dessa superfície teríamos que pegar uma parametrização mega chatinha e a cara desse campo não ajuda muita coisa hahaha.
Então, pra fazer essa integral vamos usar a seguinte estratégia:
O Teorema do Divergente, também chamado Teorema de Gauss, estabelece uma relação entre a integral (derivada) do divergente de um campo vetorial sobre uma região com a integral de sobre a fronteira da região.
Só que o enunciado nos deu uma superfície aberta que é o paraboloide para (acima do plano ).
Para fechar a superfície parece que é mais simples pegar a parábola que está no plano . Assim a nossa igualdade fica
Então o que o enunciado pede é dado por
Então temos que calcular essas duas coisas.
Passo 2
Vamos calcular o divergente do campo :
Certo? Agora vamos ver a região de integração!
Passo 3
A região de integração é um paraboloide:
Em coordenadas cilíndricas temos:
Então
No topo do paraboloide o raio da seção reta é nulo e na sua base (acima do plano ) o raio é .
Assim, os limites de integração vão ser:
E o diferencial de volume vai ser
Agora é só montar e fazer a integral!
Passo 4
Agora vamos olhar a segunda integral
Na parábola que está no plano . Fazendo na equação do paraboloide
Que é uma circunferência de raio !
O vetor é dado por
Que aponta na direção por que tem que apontar para fora da região.
Já o vetor em é dado por
Assim o produto escalar é dado por é dado por
Ficou bem maiiiiss simples, não foi?!
A nossa integral então vai ser do tipo:
Passo 5
Juntando tudo então:
O que achou?
Pra essa questão é isso, pessoal! Bora resolver mais uma?