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Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Calculo 3 – USP – P2

Seja o campo vetorial F → x , y , z = - y , x , 0 x 2 + y 2 + z 2 2 , com domínio R 3 \ 0,0 , 0 . Analise as seguintes afirmações:

  1. ∬ S F → ⋅ N → d S = 0 , para S esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , com a > 0 , qualquer que seja a orientação de S .
  2. ∬ S R o t F → ⋅ N → d S = 0 , para toda S superfície parametrizada orientável contida no domínio de F → , qualquer que seja a orientação de S .
  3. ∬ S F → ⋅ N → d S = 0 , para S cilindro x 2 + y 2 = a 2 , 0 ≤ z ≤ b , com a , b > 0 , qualquer que seja a orientação de S .

É correto afirmar que

Escolha uma:

  1. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
  2. Todas as afirmações são verdadeiras.
  3. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
  4. Apenas a afirmação I é verdadeira.
  5. Apenas a afirmação III é verdadeira.

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão! Vamos começar devagar então. Vamos tentando resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.

Vamos começar resolvendo a afirmação I (e concluir até para a afirmação III). Para isto, vamos precisar calcular o divergente do nosso campo e utilizar o teorema da divergência. Começando pelo divergente, temos:

d i v   F → = ∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ - y x 2 + y 2 + z 2 2 , x x 2 + y 2 + z 2 2 , 0

d i v   F → = ∂ ∂ x - y x 2 + y 2 + z 2 2 + ∂ ∂ y x x 2 + y 2 + z 2 2 + 0

d i v   F → = 4 x y x 2 + y 2 + z 2 3 - 4 x y x 2 + y 2 + z 2 3 = 0

Agora que a gente confirmou que o divergente é nulo, já conseguem ter a sacada do motivo de usarmos o teorema da divergência? Lembrando, ele nos diz que:

∬ S F → ⋅ N → d S = ∭ E d i v   F → d V

Só que, para utilizarmos o teorema da divergência, a superfície deve estar orientada positivamente. Caso isto não ocorra, devemos inverter o sentido de orientação (multiplicar por -1).

Só que o nosso divergente não é igual a zero? Logo,

∬ S F → ⋅ N → d S = ∭ E d i v   F → d V = 0

Independente da orientação da nossa superfície S. E não só isso. É independente também da forma da superfície S.

Por causa disso, tanto a afirmação I quanto a afirmação III são verdadeiras!

Passo 2

Para finalizarmos a questão, vamos precisar resolver a afirmação II. E para isto, vamos ter que calcular o rotacional do nosso campo.

Já foi o divergente, agora é o rotacional! Haja derivadas parciais para calcularmos, não é?!

Então, vamos lá...

R o t   F → = ∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z - y x 2 + y 2 + z 2 2 x x 2 + y 2 + z 2 2 0

R o t   F → = ∇ × F → = 0 - 4 x z x 2 + y 2 + z 2 3 i → + 4 y z x 2 + y 2 + z 2 3 - 0 j → + x 2 + y 2 + z 2 - 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 + x 2 + y 2 + z 2 - 4 y 2 x 2 + y 2 + z 2 2 k →

R o t   F → = ∇ × F → = - 4 x z x 2 + y 2 + z 2 3 , 4 y z x 2 + y 2 + z 2 3 , - 2 x 2 - 2 y 2 + 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 3

E agora? O que vamos fazer com este vetor bem grande?? Bom, vamos deixar um pouco de lado e lembrarmos a nossa afirmação II. Ela nos diz que:

∬ S R o t F → ⋅ N → d S = 0

Para toda superfície S parametrizável. Portanto, a única forma da integral acima ser igual a zero, para qualquer superfície S , foca bastante nessa parte (qualquer superfície!!!), é se, e somente se, o rotacional for igual ao vetor nulo.

Portanto, como a gente calculou o rotacional e verificamos que ele não é igual ao vetor nulo para todo o R 3 , podemos afirmar então, que a afirmação II é falsa!

E assim, concluímos a nossa questão. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras (letra c).

Resposta

Apenas as afirmações I e III são verdadeiras (letra c).

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