Calculo 3 – USP – P2
Seja .
Considere as seguintes afirmações:
- para toda curva fechada por partes .
- O fluxo do rotacional de sobre uma superfície orientada é nulo.
- Existem pontos de onde o divergente de se anula.
- O fluxo de através da superfície , com , orientada pela normal satisfazendo , é nulo.
Escolha uma:
- Todas as afirmações são corretas.
- Apenas 3 afirmações são corretas.
- Apenas 2 afirmações são corretas.
- Apenas 1 afirmação é correta.
- Nenhuma afirmação é correta.
Passo 1
Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.
A nossa primeira informação nos diz que, para toca curva fechada por partes , temos:
Bom, a afirmação acima será verdade se, e somente se, o campo vetorial for um campo conservativo. Então, o que temos que verificar para esta afirmação é se o campo vetorial é conservativo ou não.
O método que escolhemos fica de acordo com vocês. Agora, vamos facilitar nossa vida e tentar fazer o link desta afirmação com a afirmação II, em que precisamos determinar o rotacional do nosso campo vetorial.
Existe um teorema que afirma que, se o rotacional de um campo for igual ao vetor nulo, então o campo é conservativo. Caso contrário, o campo não será conservativo. Portanto, vamos ao cálculo do rotacional.
Então, como o rotacional é diferente do vetor nulo, nosso campo não é conservativo, e consequentemente, a nossa integral não será igual a zero para qualquer curva fechada!
Logo, a afirmação é falsa!
Passo 2
Agora vamos resolver a afirmação II. Ela afirma que o fluxo do rotacional de sobre uma superfície orientada é nulo.
O fluxo do rotacional nulo corresponde a seguinte integral:
Percebam que a questão não fala quem é a superfície . Portanto, precisamos considerar ela como qualquer superfície parametrizável.
Ao fazermos esta consideração, a única forma da integral acima ser igual a zero, para qualquer superfície , foca bastante nessa parte (qualquer superfície!!!), é se, e somente se, o rotacional for igual ao vetor nulo.
Como calculamos o rotacional no Passo 1, checamos que ele é diferente do vetor nulo. Sendo assim, como a gente calculou o rotacional e verificamos que ele não é igual ao vetor nulo para todo o , podemos afirmar então, que a afirmação II é falsa!
Passo 3
Vamos resolver a afirmação III agora. Ela afirma que existe ponto de onde o divergente de se anula. Então, para checarmos se ela é verdadeira ou falsa, precisamos calcular o divergente do nosso campo.
Sendo assim, vamos para as contas! Para
Temos,
Agora devemos nos questionar o seguinte: será se existe algum ponto que consiga zerar o divergente acima?
E a resposta para este questionamento é: existe sim! O ponto . Vejamos só o que acontece quando substituímos as suas coordenadas no divergente:
Então, a nossa afirmação é verdadeira!
Passo 4
Por fim, precisamos determinar o fluxo do campo vetorial através da superfície , com , orientada pela normal satisfazendo , é nulo.
Portanto, precisamos determinar a seguinte integral:
Poderíamos tentar parametrizar a superfície e resolver a integral acima, mas as contas se tornam muito complicadas neste caso. A forma mais simples é utilizarmos o teorema da divergência e analisarmos as integrais que temos de resolver.
O teorema da divergência nos diz que:
Sendo o sólido delimitado pela nossa superfície . Este sólido consiste em uma região do tipo I, pois a projeção do sólido no plano consiste na circunferência de raio 1 e centrada na origem (basta fazer ).
Sendo assim, os nossos limites de integração são:
Como já calculamos o divergente no Passo 3, temos:
Passo 5
Vamos analisar a resolução da integral acima separadamente agora, com bastante cuidado.
O interessante é que não precisaremos resolver todas as integrais para perceber que ela é diferente de zero. Vamos conseguir eliminar uma boa parte do nosso trabalho apenas analisando se a função é ímpar.
Sendo assim, vamos começar analisando a integral abaixo:
Percebam que a função acima, em relação a , é uma função ímpar, isto é, . Funções ímpares integradas em intervalo simétrico são exatamente iguais a zero. Com isto, já eliminamos a primeira integral.
Agora, vamos analisar outra integral
Fica difícil analisar ela em torno da variável , visto que, neste caso, seria uma função par. Agora, se a gente muda a ordem de integração, o jogo muda. Vejamos só se a gente começa integrando por .
Se integrarmos primeiro em relação a , vamos observar que a função também é ímpar! Como o intervalo é simétrico, a integral acima também será igual a zero! Portanto, daquela integral bem grande, só nos resta:
E que aparenta ser bem difícil de calcular. Mas calma. Vamos fazer uma mudança de coordenadas. Que tal escrevermos com coordenadas polares: se fizermos isto, nosso limite de integração (região circular de raio 1) será e . E com isto, teremos:
OBS: percebam que se vocês esquecem do , vocês não vão conseguir resolver a integral acima!
Agora o jogo é fácil. Para ficar mais intuitivo, vamos chamar , então . Quando , temos . Já quando , temos . Portanto,
E consequentemente, é um valor diferente de zero! Assim, concluímos que a afirmativa IV é falsa!
Portanto, a questão possui apenas 1 afirmação correta, e a resposta é a letra d.
Resposta
Apenas 1 afirmação é correta (letra d).