Calculo 3 – USP – P2
Seja um campo de vetores de classe em , que não é identicamente nulo. Considere as seguintes afirmações:
- Se é conservativo em , então em .
- em .
- Se representa um campo de velocidades de um fluido em e , então o volume de regiões limitadas com fronteira de conteúdo nulo é preservado pelo escoamento.
- Existe uma superfície com bordo em , orientada por uma normal , tal que o fluxo de através de na direção é não-nulo.
Podemos afirmar que:
Escolha uma:
- Apenas 3 afirmações são corretas.
- Nenhuma afirmação é correta.
- Apenas 2 afirmações são corretas.
- Todas as afirmações são corretas.
- Apenas 1 afirmação é correta.
Passo 1
Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.
Esta questão é bem teórica. Não precisamos de nenhum cálculo para resolvê-la.
Sendo assim, vamos começar com a primeira afirmação. Ela nos diz que, se é conservativo em , então em .
Temos um Teorema que afirma que, se é uma função real de três variáveis que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então .
Isto é decorrência direta do Teorema de Clairaut, que afirma que podemos trocar a ordem de derivação que o resultado será o mesmo. Por exemplo,
Portanto, vamos provar aqui esta relação:
Como dito anteriormente, pelo Teorema de Clairaut. Continuando, como todo campo conservativo é da forma , então, se é um campo conservativo, temos:
E assim provamos a primeira afirmação.
Passo 2
Vamos agora para a segunda afirmativa. Ela nos diz que: em .
Como o campo vetorial é um campo vetorial de classe 2, e consequentemente possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas, vamos provar que a afirmação dada na questão é verdadeira.
Para isto, vamos assumir que . Portanto,
Agora, vamos calcular o divergente do rotacional acima. Portanto,
Aplicando novamente o Teorema de Clairaut, as derivadas parciais acima irão se anular, e consequentemente iremos obter:
E assim provamos a afirmação II!
Passo 3
Para resolvermos a afirmação III temos que entrar no campo lúdico do teorema da divergência.
O divergente pode ser analisado, na mecânica dos fluidos, como a taxa de variação de volume de um fluido em um determinado espaço (volume).
Se o divergente for maior que zero, dizemos que a região é uma fonte. Isto é, ela está fornecendo para fluido para outros ambientes. Já se o divergente for negativo, temos o contrário. O nosso volume está absorvendo fluido das regiões ao redor.
E o que acontece se o divergente for nulo? Nada. O fluido pode até se movimentar, mas o volume líquido (variação do volume no tempo) é nulo. Portanto, o nosso volume não armazena nem perde fluido para o ambiente externo.
Logo, o volume é preservado!
Portanto, a afirmação III é verdadeira!
Passo 4
Para finalizarmos a questão, temos a afirmação IV, que é a mais fácil de ser resolvida.
Ela nos diz que existe uma superfície com bordo em , orientada por uma normal , tal que o fluxo de através de na direção é não-nulo.
A questão é que não conhecemos nada sobre a superfície , e essa também é a nossa alegria. Isto nos permite pensar em qualquer superfície tal que o nosso campo vetorial não seja ortogonal ao vetor normal , para que o fluxo, dado pela seguinte relação:
Seja diferente de zero. Portanto, nosso problema não está na superfície , mas sim no campo vetorial .
Para que o fluxo seja sempre nulo, a única possibilidade é se . Agora, como o enunciado nos diz que o campo vetorial não é identicamente nulo, então, teremos alguma superfície que satisfaça o fluxo ser não nulo. Portanto, a afirmação IV é verdadeira!
E assim concluímos a questão verificando que todas as afirmações são corretas (letra d).
Resposta
Todas as afirmações são corretas (letra d).