(4) O fluxo do campo vetorial através da superfície do sólido , orientada com o vetor normal apontando para fora, é igual a:
Passo 1
Montemos primeiro a integral que o problema quer que calculemos e como ele quer um fluxo de uma função vetorial sobre uma superfície, só pode ser uma integral de superfície no caso vetorial !
Passo 2
Bem, repare que a superfície é um elipsoide :
Portanto fazer a integral de forma direta, embora funcione, dá trabalho! Por isso a ideia é tentar trabalhar com o famoso teorema de Gauss, que relaciona o fluxo, com uma integral tripla:
Mas é claro, não podemos aplicar essa igualdade de qualquer modo. Precisamos estar nas condições de Gauss:
- Superfície fechada delimitando o sólido
- Campo sem singularidade onde estamos trabalhando
- Orientada positivamente
Será que essas condições estão sendo satisfeitas?
Passo 3
Vamos averiguar!
- Superfície fechada delimitando o sólido (confere )
- Campo sem singularidade onde estamos trabalhando (confere )
- Orientada positivamente (confere )
Afinal a superfície é o elipsoide e o sólido é o seu interior:
Pois o campo é bem simples e não tem nenhuma singularidade ()
Pois o vetor norma está saindo do sólido!
Então podemos aplicar a igualdade para matar o nosso problema!
Passo 4
Para resolver a integral tripla, precisaremos do divergente calculado:
Como o campo vetorial é ...
Logo, substituindo na integral...
Epa! integral tripla de é o volume do sólido! Como o sólido é conhecido e é um elipsoide , seu volume se calcula fazendo
(semelhante o volume da esfera, mas no lugar de se tem esses caras, saca?)
Então o fluxo será...