USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2021.1, Questão 19b
Calcule o fluxo através de ( = normal unitária exterior), para:
e a superfície do sólido limitado pelos hemisférios , e pelo plano .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Precisamos calcular o fluxo do seguinte campo vetorial
através da superfície limitada pelos hemisférios
,
e pelo plano . O cálculo de fluxos pode ser feito através da seguinte expressão
Acima temos o teorema de Gauss, descobrir se é interessante expandir o lado esquerdo ou o lado direito da expressão acima é caminho! Bora lá!
Passo 2
Vamos calcular a divergência do campo vetorial, nós temos que
em que . Calculando as derivadas parciais temos então que
Ficou até bastante simples! Talvez seja conveniente expandir a nossa integral tripla! Mas, antes disso, vamos dar uma olhada em nossa região, ela é a seguinte
Ou seja, queremos tudo que está acima de entre os dois hemisférios acima! Isso está pedindo por coordenadas esféricas! Bora lá!
Passo 3
Vamos escrever nossos hemisférios usando a seguinte mudança de coordenada
, e
e, o jacobiano já conhecido como
de forma que a nossa integral se torna
convenientemente ainda podemos simplificar a expressão acima um pouco para obter
No entanto, é preciso tomar um cuidado com os limites de integração! O raio vai do raio do hemisfério de dentro até o hemisfério de fora, portanto, temos que , o ângulo está no intervalo e o ângulo está no intervalo já que estamos acima do plano . Temos então que
Vamos começar com a integração em ! Vem comigo!
Passo 4
Separando a integral em , temos que
A integral em é bastante simples, ela resulta em
para resolver a outra integral será conveniente escrever a expressão acima como , e usar a identidade trigonométrica para reescrever o , vamos ficar com
A primeira dessas duas integrais já é conhecida, podemos escrever que
e, para a segunda integral precisamos usar a substituição simples
e
usando que e que , obtemos
avaliando os limites de integração temos que
a nossa integral se torna então
Voltando estes resultados em nossa integral original, temos que
Vamos integrar em agora!
Passo 5
A integral em pode ser resolvida usando a regra do polinômio para integrais, temos que
que resulta em
e também temos que
de forma que temos a nossa integral reduzida à
A última integral é bastante direta, temos que
e, portanto, o resultado final é
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!