4) Calcule
onde , é a superfícei esférica e a orientação normal exterior a .
Passo 1
Bem, o problema quer claramente que busquemos a resolução da integral de superfície:
Para resolver essa integral, poderíamos seguir basicamente 2 caminhos:
1º - Fazer de uma forma direta (parametrizando e tudo mais)
2º - Aplicar o Teorema de Gauss.
Normalmente o Teorema de Gauss é mais fácil e mais rápido, mas a princípio não temos como garantir que método é mais fácil. Mas uma boa dica de qual caminho tomar é sempre calculando o divergente:
Como
Calculando as derivadas parciais:
Logo...
Pow, com um divergente simples e convidativo (se parece com a equação da esfera) sim, o problema está pedindo que façamos por Gauss!
Passo 2
O teorema basicamente é a igualdade maravilhosa:
Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:
1º - Uma superfície fechada delimitando o sólido :
Se desenharmos como o problema nos sugeriu:
Yes! A superfície é fechada.
2º - Sem singularidades na função Vetorial:
Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por ou algo do tipo.
3º - Superfície orientada positivamente:
Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado.
Passo 3
Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...
Então se queremos a integral de superfície, calculemos a integral tripla que cara, vai dar muito menos trabalho. Acredite em mim !
Passo 4
Como estamos falando de uma esfera, podemos utilizar as mudanças para coordenadas esféricas:
Onde o Jacobiano dessa mudança é:
E uma equação que nos ajuda muito é a equação da esfera:
Passo 5
Não devemos sair de uma mudança de coordenadas sem antes dizer onde os parâmetros variam:
Comparando essa imagem explicativa de onde as coordenadas esféricas variam com a esfera que a gente tem...
podemos perceber que o varia da origem e vem até a casca da nossa esfera...
E o ângulo , bem, esse cara tá dando uma volta completa...
Já variação do , esse varia lá de cima até lá em baixo dando uma volta total de ...
Passo 6
Voltando então para a integral que devemos resolver:
Substituindo tudo (inclusive não se esquecendo de multiplicar pelo Jacobiano)...
Calculando a integral de dentro em ...
Logo, pelo Teorema de Gauss concluímos que...