UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 10 - Função impulso unitário e convolução, Questão 1.3
Resolva os problemas de valor inicial:
3.
Passo 1
Olá meu amigo, tudo bem? Espero que sim pois agora iremos resolver umas queridas EDOs. Aqui o que iremos fazer é resolver essas EDOs por Laplace, pois é muito mais facil, rapido e prático. Pelo menos eu tenho essa impressão. O que iremos fazer aqui é passar tudo para o domínio da frequência, e após encontrarmos nossa solução é que iremos voltar para o domínio do tempo por meio da transformada inversa. Iremos utilizar bastante a tabela de Laplace então é bom que voce tenha uma dessas em mãos.
Chame de
E das propriedades de derivação das transformadas
E para
Agora precisamos encontrar a transformada para
Passo 2
Temos então
Agora iremos substituir os valores do domínio do tempo na edo para os no domínio da frequência,
Isolando o
Aqui é que a coisa fica interessante, para não dizer complicada. Temos que agora que voltar para o domínio do tempo calculando a integral inversa de Laplace.
Passo 3
Separando
Para a primeira
Iremos ignorar e e focar na nossa fração parcial por hora,
Multiplicando pelo denominador,
Simplificando
Colocando agora nos seus devidos lugares e simplificando
Aqui iremos
Agora para teremos que manipular
Da nossa querida tabela
Então a transformada completa da nossa primeira equação fica
Para a segunda iremos acabar repetindo a transformada que já fizemos, então o precisamos é organizar tudo
E