UTFPR, Ponta Grossa, Equações Diferenciais Ordinárias, Listas EDO 2 Ordem e Ordem Superior - Segunda Lista de Exercícios, Questão 1e
Resolva as EDO de segunda ordem a seguir
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema?
Vamos fazer uma revisão!!!!
Vamos supor que temos uma EDO de segunda ordem homogênea. Isso é, da seguinte forma:
A primeira coisa que fazemos é encontrar o polinômio característico e, depois, suas raízes.
O polinômio é super simples de construir, basta pegarmos os coeficientes da EDO homogênea e ir plugando as potências do polinômio. Na prática fica assim.
Ou seja, as potências dos polinômios ficam com os coeficientes das derivadas de mesma ordem. Isto é, potência com segunda derivada, e assim por diante.
Agora achamos as raízes. Mas como o polinômio característico é do segundo grau. Usamos Bhaskara. Sendo assim suponha que e são as raízes do polinômio característico.
Se , Então a solução geral da EDO homogênea é:
com
Se , Então a solução geral da EDO homogênea é:
com
Se , Então a solução geral da EDO homogênea é:
com
Deu para revisar? Show!!!!
MAS PERA AE!!!!! NÓS QUEREMOS A SOLUÇÃO DE
E essa não é uma EDO homogênea. Então o que fazemos??? Ora é bem simples. Primeiro calculamos a solução da EDO homogênea e depois somamos com uma solução particular da nossa EDO. E adivinha como encontramos a solução particular, muitas vezes é na base do chute mesmo. kkkkkk
E nesse caso, podemos separar da seguinte forma. Podemos calcular uma solução particular para
e outra para
e depois somar elas. Bem bacana né?
E por fim, resolvemos o problema de valor inicial
Então vamos nessa!!!!
Passo 2
Vamos resolver nossa EDO
Vamos calcular o polinômio característico da EDO homogênea associada.
Pela nossa revisão ele é
Vamos obter suas raízes
Por Bhaskara, as raízes são
Ou seja, temos duas raízes reais complexas. Então a nossa solução homogênea é da forma
com
Como nosso , então a solução do sistema homogêneo é:
Agora, precisamos de uma solução particular para
Como falamos no passo 1, podemos separar e calcular as soluções particulares para
e depois somar elas. Vamos começar com
Vamos pensar na mais simples possível, um polinômio. Vamos supor que é o polinômio
E vamos ver se satisfaz a EDO
Opaaaa, satisfaz. Vamos guardar essa solução particular. Vamos obter a próxima solução particular
Vamos chutar um como solução. Então temos
Então, fazendo , temos mais uma solução particular. Que é:
Então a solução geral é a soma da solução homogênea com as particulares. Que é da forma
Passo 3
Para finalizar, só precisamos resolver o problema de valor inicial
Bem, sabemos que a solução geral é:
Então, é:
Como queremos que . Então
E temos a segunda condição
Como
Logo,
Mas como
Então
Logo a solução do PVI é
Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!