Questão 2: Determine todos os valores de para os quais o seguinte problema da EDO com condições de contorno tem ao menos uma solução diferente de .
Passo 1
Primeiro vamos encontrar as soluções da EDO:
Por comparação com a equação característica:
Resolvendo essa equação encontrando primeiro o delta:
Então agora vamos começara analisar cada situação para !
Passo 2
Se então a solução é da equação característica é...
Então a solução da EDO é...
Aplicando as condições de contorno...
Além disso...
A única forma disso ser é se . Então não rola, neh? Pois queremos soluções não nulas ;)
Passo 3
A outra situação possível é se ...
Então a solução da EDO:
Aplicando as condições de contorno...
E
A única forma disso ser é se e novamente isso não rola!
Passo 4
A última situação é se , então teremos uma resposta para a equação característica imaginária:
Assim, a resposta da EDO será:
Aplicando as condições...
E
Como o a gente não quer que seja ...
Como , então...
E a solução da Edo será: