UnB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fixação de C2 - MAT - Lista da Semana 10, Questão 6a
Uma equação que tem a forma
Onde e são constantes reais, é denominada equação de Euler. Verifique que a substituição (defina ) transforma a equação dada na equação com coeficientes constantes
Desde que a equação em é de ordem linear com coeficientes constantes, podemos resolvê-la e determinar , consequentemente obtemos .
Para cada um dos casos (duas raízes reais e distintas, uma raiz real dupla e duas raízes complexas conjugadas) escreva a solução geral .
Resolva as seguintes equações de Euler:
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente resolver a equação de Euler O próprio enunciado já nos diz que ela tem a forma geral . Daí, na resolução desse tipo de equação, nós vamos sempre acabar nos deparando com um polinômio característico:
Depois disso, a gente precisa descobrir os valores de e finalmente encontrar a solução. Observe que a gente tem uma equação do segundo grau aí, então três tipos de solução estarão disponíveis:
- Se tivermos duas raízes reais e distintas (), nossa solução terá a forma:
- Se tivermos duas raízes reais e iguais (), nossa solução é do tipo:
- E se temos raízes complexas (), nossa solução terá a forma:
Então, vamos verificar em qual dos casos cai nossa EDO e encontrar nossa solução.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa EDO é dada por:
Como e , nossa equação característica será dada por:
Simplificando:
Resolvendo essa equação do segundo grau, temos:
Então, temos duas raízes complexas na forma . Dessa forma, nossa solução será do tipo:
Substituindo e , temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉