Resolva os seguintes problemas de valor inicial

d) y ' ' - 4 y ' + 13 y = 0 y 0 = - 1 ,   y ' 0 = 2

Passo 1

EDO de segunda ordem pra gente!!

r 2 - 4 r + 13 = 0

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 16 - 4 × 1 × 13 = - 36

r = - b ± Δ 2 a

r = 4 ± 6 i 2  

r = 2 ± 3 i

Passo 2

Com esse valor de r já sabemos que a solução é padronizada por

y = e a x c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n b x

Onde

r = a ± b i = 2 ± 3 i

Logo

y = e 2 x c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 s e n 3 x

Beleza, mas ainda precisamos aplicar a condição inicial para podermos descobrir o valor de c 1 e c 2 para encontrarmos a solução geral, certo? Bora lá então

Passo 3

As condições iniciais que tínhamos era y 0 = - 1 ,   y ' 0 = 2

Logo

y = e 2 x c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 s e n 3 x

- 1 = e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n 0

- 1 = c 1

Já descobrimos o c 1 . Agora pra o c 2 vamos encontrar a derivada dessa solução a plicar a outra condição inicial

y ' = 2 e 2 x c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 s e n 3 x + - 3 c 1 sen ⁡ 3 x + 3 c 2 cos ⁡ 3 x e 2 x

Aplicando então a condição

2 = 2 - 1 1 + c 2 0 + 3 0 + 3 c 2 1

2 = - 2 + 3 c 2

c 2 = 4 3

Então agora é só aplicar esses valores de c 1 e c 2   na solução geral

y = e 2 x c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 s e n 3 x

y = e 2 x - cos ⁡ 3 x + 4 3 s e n 3 x

Resposta

y = e 2 x - cos ⁡ 3 x + 4 3 s e n 3 x

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