3. Considere a equação

4 * y'' + β * y' + y = 0

i. Encontre o intervalo (a, b) tal que se β ∈ (a, b) então a solução da equação é da forma

y(t) = C1 * e^(λ1 * t) + C2 * e^(λ2 * t) ,

em que C₁ e C2 são constantes arbitrárias e λ₁ e λ₂ são número reais distintos;

ii. Escolha um valor para beta neste intervalo e resolva a equação.

Passo 1

Temos nessa questão uma equação de segunda ordem homogênea e nós resolvemos pelo polinômio característico.

E como o enunciado nos mostrar y t podemos ver que as raízes encontradas são reais e diferentes então precisamos resolver essa EDO e descobrir para qual intervalo isso é verdade.

Passo 2

Temos a EDO:

4 y ' ' + β y ' + y = 0 ⇒ y ' ' + β 4 y ' + 1 4 y = 0

Usando o polinômio característico temos:

r 2 + β 4 r + 1 4 = 0   ⇒ r = - β 4 ± β 2 16 - 4 ⋅ 1 4 2 = - β 4 ± β 2 16 - 1 2

Agora pensa comigo e vamos olhar dentro da raiz, se - 4 < β < 4 ao resolvermos o termo dentro da raiz teremos um número negativo e como eu disse no Passo 1 as raízes são reais.

Se β = - 4 ou β = 4 o termo dentro da raiz zera e isso também não é possível pois também disse no Passo 1 que as raízes são diferentes. Então o intervalor em que β está será dado por:

β ∈ - ∞ , - 4 ∪ 4 , ∞

Passo 3

i i . O enunciado pede pra escolhermos um valor pra β e por facilidade vou escolher β = 5 . Então vamos substituí-lo na nossa fórmula de Bhaskara.

r = - 5 4 ± 25 16 - 1 2 = - 5 4 ± 9 16 2 = - 5 4 ± 3 4 2

Com isso temos que:

r = - 2 8 = - 1 4       o u       r = - 8 8 = - 1

A solução da nossa EDO é:

y t = C 1 e - 1 4 t + C 2 e - t

Resposta

i .

β ∈ - ∞ , - 4 ∪ 4 , ∞

i i .

Para β = 5

y t = C 1 e - 1 4 t + C 2 e - t

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