Seja uma constante. Se é uma solução não nula da equação , então :
- Não existe e tende a
- Existe e vale
- Não há dados suficientes para calcular
- Não existe e tende a
- Existe e vale
Passo 1
Vamos olhar essa EDO com carinho, ela é a mesma coisa que . É uma EDO de segunda ordem da qual a gente consegue achar a solução para todos os casos de da equação característica. Por isso a gente consegue calcular depois .
O problema é que precisaremos fazer esse limite para todos os casos de delta, porque não sabemos o valor de
Então o que a gente vai fazer é achar para cada caso e calcular o limite para ver no que dá.
Passo 2
A equação característica dessa EDO fica assim:
Achando as raízes da equação por bhaskara:
Passo 3
Agora a gente precisa achar para o caso :
Sabendo que:
Sendo:
Ficamos com:
Passo 4
Agora fazemos , com muita coragem e atenção:
Vamos olhar com calma para esses expoentes. Momento de muita atenção. Lembra que: e esse é para o caso de . Logo:
Com isso a gente já percebe que esse coeficiente é positivo, porque é uma soma de dois termos positivos (, pelo enunciado).
Vamos analisar o outro expoente:
Já sabemos que é positivo, mas será que ele é maior que ?
É sim! Concorda comigo que . Se eu diminuo esse de algum valor, como , vamos ter que . Então esse expoente também é positivo.
Ficamos então com:
Sabendo que :
Passo 5
Vamos para o caso .
Para essa situação,
Então,
Passo 6
Calculando o limite:
Vamos calcular o limite de cada termo da soma separadamente. Como :
Calma, vamos usar L’Hospital:
Ufa! Conseguimos. Vamos para o outro termo:
Se os termos zeraram,
Passo 7
Para finalizar, vamos olhar o caso . Para isso:
Sendo:
Passo 8
A gente precisa calcular:
Como cosseno e seno são funções limitadas, a gente pode tentar calcular primeiro.
Sabemos que então:
Voltando para o limite inicial:
Pelo teorema do anulamento.
Então, nossa alternativa certa é a letra e.
Resposta
Letra e