Determine uma equação diferencial cuja solução seja y(t) = c1 * e^(2t) + c2 * e^(-3t) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a EDO que tem como solução geral a equação y t = c 1 e 2 t + c 2 e - 3 t . Pra isso, precisamos lembrar da forma geral da EDO de segundo grau:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0

Nós sabemos que esse tipo de EDO é resolvida por meio da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

E da equação auxiliar, nós descobrimos as raízes r 1 e r 2 . Nesse caso, nós já temos uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Comparando com a nossa equação y ( x ) , temos r 1 = 2 e r 2 = - 3 . Então, nós vamos fazer o processo inverso que geralmente fazemos pra descobrir a solução da EDO. Como já temos a raízes da equação do segundo grau, vamos descobrir qual é essa equação característica e consequentemente qual será nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Como temos r 1 = 2 e r 2 = - 3 , podemos supor que nossa equação característica é do tipo:

r - r 1 ∙ r - r 2 = 0

Substituindo, temos:

r - 2 ∙ r + 3 = 0

Aplicando a propriedade distributiva:

r 2 + 3 r - 2 r - 6 = 0

r 2 + r - 6 = 0

Comparando com a forma geral da EDO:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0

Temos a = 1 , b = 1 e c = - 6 . Então, nossa será EDO será dada por:

y ' ' + y ' - 6 y = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' ' + y ' - 6 y = 0

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