UNB, Sem Campus, Cálculo 3, Provas Fundamentos Matemáticos da Física B - 2022.2, Questão 4b
Considere a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas:
Mostre que se utilizarmos a constante de separação , obtemos as seguintes equações:
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo na paz?
Nessa questão temos a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas:
Ela é bem feinha, mas usando que o volume é separável em:
chegamos no item anterior que:
A partir dessa equação precisamos mostrar que se a constante de separação é , temos as seguintes equações:
A ideia aqui é entender o que é essa constante de separação. Como no item anterior chegamos numa igualdade entre funções de variáveis distintas, concluímos que essas funções são constantes.
A constante que se iguala a essas funções é justamente a constante de separação.
Sacaram? Vamo nessa!
Passo 2
Como comentamos no passo anterior, a constante de separação é justamente o valor das funções que encontramos a igualdade no item anterior. Ou seja:
Daí, temos duas possíveis igualdades envolvendo .
A primeira:
E com isso já provamos a primeira relação do enunciado.
Mas, também:
Logo:
Com isso mostramos também que a outra relação pedida no enunciado é verdadeira 😊
Excelente gente!
Até a próxima 😉
Resposta
Resposta no texto.