Considere a equação de Laplace ∇ 2 V r → = 0 em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0 .  

b ) Mostre que se utilizarmos a constante de separação - k 2 , obtemos as seguintes equações:

d 2 Z d z 2 - k 2 Z = 0 ,

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - k 2

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo na paz?

Nessa questão temos a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0

Ela é bem feinha, mas usando que o volume V é separável em:

V r , θ , z = R r Q θ Z z

chegamos no item anterior que:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - 1 Z d 2 Z d z 2    

A partir dessa equação precisamos mostrar que se a constante de separação é - k 2 , temos as seguintes equações:

d 2 Z d z 2 - k 2 Z = 0 ,

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - k 2

A ideia aqui é entender o que é essa constante de separação. Como no item anterior chegamos numa igualdade entre funções de variáveis distintas, concluímos que essas funções são constantes.

A constante que se iguala a essas funções é justamente a constante de separação.

Sacaram? Vamo nessa!

Passo 2

Como comentamos no passo anterior, a constante de separação é justamente o valor das funções que encontramos a igualdade no item anterior. Ou seja:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - 1 Z d 2 Z d z 2 = - k 2

Daí, temos duas possíveis igualdades envolvendo - k 2 .

A primeira:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - k 2

E com isso já provamos a primeira relação do enunciado.

Mas, também:

- 1 Z d 2 Z d z 2 = - k 2

∴ d 2 Z d z 2 = k 2 Z

Logo:

d 2 Z d z 2 - k 2 Z = 0

Com isso mostramos também que a outra relação pedida no enunciado é verdadeira 😊

Excelente gente!

Até a próxima 😉

Resposta

Resposta no texto.

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