Resolva o PVI

y ' ' - y ' - 2 y = 0 ,     y 0 = α ,     y ' 0 = 2 .

Determine o valor de α para que a solução tenda a zero quanto t → ∞ .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver o problema de valor inicial, PVI. Isso significa determinar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem. E quando temos uma EDO desse tipo, que tem a forma geral:

a y ' ' t + b y ' t + c y t = 0

Nós vamos encontrar a solução geral y ( t ) resolvendo a equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

Assim, quando descobrimos as raízes r 1 e r 2 da equação auxiliar, encontramos a solução y ( t ) de acordo com as condições:

- Se tivermos duas raízes reais e distintas ( r 1 ≠ r 2 ), nossa solução terá a forma:

y t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

- Se tivermos duas raízes reais e iguais ( r 1 = r 2 = r ), nossa solução é do tipo:

y t = c 1 e r t + c 2 t e r t

- E se temos raízes complexas ( r = α ± β i ), nossa solução terá a forma:

y t = e α t ( c 1 cos ⁡ β t + c 2 sin ⁡ ( β t ) )

Então, vamos verificar em qual dos casos cai nossa EDO e substituir os valores dados no PVI para encontrar as constante c 1 e c 2 . Em seguida, vamos calcular o limite da solução geral pra quando quanto t → ∞ e determinar o valor de α .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação auxiliar da nossa EDO:

y ' ' - y ' - 2 y = 0

Como a = 1 , b = - 1 e c = - 2 , nossa equação auxiliar será:

a r 2 + b r + c = 0

r 2 - r - 2 = 0

Usando Bháskara para encontrar as raízes da equação, temos:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - ( - 1 ) ± 1 - 4 ( 1 ) ( - 2 ) 2 ( 1 ) = 1 ± 9 2

Então, nossas raízes serão:

r 1 = 1 + 3 2 = 4 2 = 2

r 2 = 1 - 3 2 = - 2 2 = - 1

Passo 3

Repare que temos raízes reais e distintas, então como vimos lá no passo 1 , nossa solução tem a forma:

y t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Substituindo   r 1 = 2 e r 2 = - 1 , temos:

y x = c 1 e 2 t + c 2 e - t

Passo 4

Agora vamos descobrir o valor das constantes c 1 e c 2 usando as condições iniciais y 0 = α ,     y ' 0 = 2 . Então, substituindo t = 0 e y = α na solução geral, temos:

α = c 1 e 0 + c 2 e 0

α = c 1 + c 2

Agora vamos derivar a solução geral para obter:

y ' = 2 c 1 e 2 t - c 2 e - t

Então substituindo t = 0 e y ' = 2 , temos:

2 = 2 c 1 e 0 - c 2 e - 0

2 c 1 - c 2 = 2

Resolvendo o sistema:

c 1 + c 2 = α 2 c 1 - c 2 = 2

Encontramos:

c 1 = α + 2 3 ,     c 2 = 2 α - 2 3

Portanto, nossa solução será:

y t = c 1 e 2 t + c 2 e - t

y t = α + 2 3 e 2 t + 2 α - 2 3 e - t

Passo 5

Agora vamos analisar o valor de α para que a solução tenda a zero quando fazendo t tende a infinito:

lim t → ∞ ⁡ α + 2 3 e 2 t + 2 α - 2 3 e - t

Separando os limites da soma:

lim t → ∞ ⁡ α + 2 3 e 2 t + lim t → ∞ ⁡ 2 α - 2 3 e - t = ∞ + 0

Como o primeiro limite vai pra infinito quando t → ∞ , a única maneira da solução tender a zero quando t → ∞ é que o primeiro termo seja zero. Pra que esse termo seja zero, precisamos que:

α + 2 3 = 0

Assim, isolando α , temos:

α + 2 = 0

α = - 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y t = α + 2 3 e 2 t + 2 α - 2 3 e - t

α = - 2

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