Das alternativas a seguir identifique qual é a solução para o problema de valor inicial y'' + 16y = 0, y(0) = 0 e y'(0) = 1

cos(x)

sen(4x)

sen(x)

1 / 4 * sen(4x)

cos(x) / 2

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente resolva o problema de valor inicial para a equação:

y ' ' + 16 y = 0

Vamos começar obtendo a equação característica:

r 2 + 16 = 0 → r 2 = - 16 → r = ± 4 i

Nesse caso de raízes complexas conjugadas ( da forma α ± β i ) , ou seja, de ∆ < 0 , a solução geral é da forma:

y x = e α t ( c 1 cos ⁡ β x + c 2 sen ⁡ β x )

Então, a solução geral será:

y x = ( c 1 cos ⁡ 4 x + c 2 sen ⁡ 4 x )

Agora, podemos aplicar as condições iniciais y ( 0 ) = 0   e   y ' ( 0 ) = 1

y 0 = c 1 cos ⁡ 4 . 0 + c 2 sen ⁡ 4 . 0 = 0

Como cos ⁡ 0 = 1 e sen ⁡ 0 = 0 então teremos:

c 1 + 0 = 0 → c 1 = 0

Para a segunda condição inicial, temos que derivar a solução geral;

y x = ( c 2 sen ⁡ 4 x )

y ' x = c 2 . 4 cos ⁡ 4 x

Aplicando a condição inicial, teremos:

y ' 0 = c 2 . 4 cos ⁡ 4 . 0 = 1 → 4 c 2 = 1 → c 2 = 1 4

Pronto, agora que já descobrimos os valores das constantes, sabemos a solução do nosso problema de valor inicial.

y x = 1 4 sen ⁡ 4 x

Resposta

y x = 1 4 sen ⁡ 4 x

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