Considere um sistema MMA onde a força externa é , a massa é m = 1, a constante da mola é k = 2 e constante de amortecimento é b = 2. Temos que a força da mola e do amortecedor é dada, respectivamente, por ky(t) e by0 (t), onde y(t) é a posição da massa em relação ao equilíbrio. A segunda Lei de Newton afirma que o produto da massa pela aceleração é igual ao somatório das forças.
a) Mostre que a posição da massa satisfaz uma EDO linear de segunda ordem.
b) Verifique que y1(t) = e −t cos(t) e y2(t) = e −t sen(t) são soluções fundamentais da equação homogênea.
c) Obtenha a solução geral da equação não homogênea. A posição da massa tende a zero quando t cresce?
d) Determine uma solução que satisfaz as condições iniciais y(0) = 0 e y’(0) = 1.
Passo 1
Falaaa, pessoal! Como vocês estão? Bora começar mais essa questão da lista. Começando pelo Item a), Pela segunda Lei de Newton, temos que y(t) satisfaz a seguinte equação
Usando que , , , a equação acima é equivalente a:
Passo 2
Para o item b), consideramos primeiro y1(t) = e −t cos(t). Usando as regras de derivação, obtemos que
Segue então que:
Passo 3
Já no item c), Pelo método da variação dos parâmetros, a solução geral é dada por
Onde,
de modo que a posição da massa tende a zero quando t cresce.