UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2017.2, Questão 3a
A posição de um determinado sistema massa-mola satisfaz o PVI
Obtenha a solução em função do parâmetro .
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Temos que encontrar a solução da seguinte equação diferencial de segunda ordem
essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea, portanto, a solução se resulta em encontrar as raízes do polinômio característicos. Como este é um PVI, também teremos ao final de tudo avaliar as condições iniciais
e
Mas isso será apenas após completar a questão como um todo! Bora lá!
Passo 2
Precisamos escrever o polinômio característico desta equação, ele é tal que
Esta expressão resulta em raízes complexas conjugadas da forma
Você lembra qual o formato da solução quando temos raízes complexas conjugadas? Vem comigo!
Passo 3
Para um polinômio característicos com raízes complexas conjugadas, temos que a solução é da forma
em que podemos identificar e através do formato de um número complexo usual , portanto, temos que e . A solução é então
Este é o formato da solução geral! Vamos agora aplicar as condições iniciais para obter as constantes arbitrárias e . Saca só!
Passo 4
A primeira condição inicial é simplesmente , portanto, temos que
daqui temos diretamente que
para avaliar a segunda condição inicial precisamos calcular a derivada da solução! Usando que
e
a nossa derivada toma a forma
Aplicando a condi��ão inicial, temos que
temos então que
E a solução do PVI é dada por
A primeira alternativa foi isso! Vamos para a próxima! Até jajá!