Considere a equação diferencial
Defina , e mostre que satisfaz a equação
Resolva a equação acima e obtenha a solução geral de usando .
Passo 1
Bom, já que o cara deu uma relação entre e , devemos substituir essa relação em e ver no que dá. Para isso, a gente precisa do e , em termos de .
Passo 2
Agora que a gente já tem os termos necessários, bora substituir em !!!
Juntando os termos semelhantes...
Se a gente tem um produto de duas coisas dando zero, quer dizer que ou uma coisa é zero, ou a outra é. Como , para todo pertencente aos reais, temos que:
Como queríamos demonstrar.
Passo 3
Agora vamos resolver a letra .
Oooopa, ele disse que você deve usar , então vamos colocar a EDO de 2
ª ordem em aqui embaixo pra você não confundir.
Essa é a EDO que devemos resolver. Lembrando que ela é de segunda ordem porque está envolvida a segunda derivada como a de maior grau. Além disso, é homogênea porque ela tá igualada a zero.
Passo 4
Depois dessa revisãozinha, bora colocar a mão na massa e resolver.
Resolver essa EDO é resolver aquele polinômio de 2º grau, lembra?
Logo, solução de
Passo 5
Beleza! Mas a gente precisa lembrar que o cara quer o , não . Mas agora é fácil encontrar o , porque a gente tem uma relação entre e .
Resposta
Demonstração.