Considere a solução y t do problema de valor inicial (PVI) y ' ' - 2 y ' - 8 y = 0 , y 0 = α , y ' 0 = 2 π . Encontre o limite de y t quando t → ∞ em cada um dos casos abaixo:

(a) α > - π

(b) α = - π

(c) α < - π

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos uma EDO de segunda ordem homogênea de coeficientes constantes dada por y ' ' - 2 y ' - 8 y = 0 .

Foi dito que a solução quando t = 0 é y 0 = α e quando a derivada da solução em t = 0 , y ' 0 = 2 π .

O objetivo principal dessa questão é obter a solução y t e calcular o limite de y t para quando t tende ao infinito em três ocasiões: quando α > - π , quando α = - π e quando α < - π .

Como podemos fazer isso?? 🤔🤔

Primeiro de tudo, vamos obter a solução dessa EDO. Lembrando que para uma EDO de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes, a solução é dada caso o ∆ > 0 .

y t = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

Substituindo y ' ' por r 2 , y ' por r e y por 1 na EDO, vamos obter a equação que a solução nos dá r 1 e r 2 .

Bora começar? 😎

Passo 2

Primeiro vamos encontrar o . Fazendo as substituições que indicamos no passo anterior, vamos ter

r 2 - 2 r - 8 = 0

Por Bhaskara, a solução dessa equação é dada por

r 1 , 2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r 1 , 2 = - - 2 ± - 2 2 - 4 1 - 8 2 1

r 1 , 2 = - - 2 ± - 2 2 - 4 1 - 8 2 1

r 1,2 = 2 ± 36 2

Com isso, tiramos que

r 1 = 4 r 2 = - 2

Logo a solução da EDO será

y t = C 1 e 4 t + C 2 e - 2 t

Como temos um problema de valor inicial onde y 0 = α , y ' 0 = 2 π vamos obter os valores de C 1 e C 2 .

y 0 = C 1 e 4 0 + C 2 e - 2 0 = α

C 1 + C 2 = α

Temos uma primeira relação entre C 1 e C 2 . Agora temos que derivar y t para obter a segunda relação.

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Derivando y t pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicado pela a derivada de fora), ou seja

y ' t = C 1 4 e 4 t + C 2 - 2 e - 2 t

y ' t = 4 C 1 e 4 t - 2 C 2 e - 2 t

Substituindo t por 0 , temos

y ' 0 = 4 C 1 e 4 0 - 2 C 2 e - 2 0 = 2 π

4 C 1 - 2 C 2 = 2 π

Com isso, temos um sistema de duas equações

C 1 + C 2 = α 4 C 1 - 2 C 2 = 2 π

Isolando C 1 na primeira equação e substituindo na segunda, temos

4 α - C 2 - 2 C 2 = 2 π

4 α - 4 C 2 - 2 C 2 = 2 π

6 C 2 = 4 α - 2 π

C 2 = 4 α - 2 π 6

Substituindo em C 1 = α - C 2

C 1 = α - 4 α - 2 π 6

C 1 = 6 α 6 - 4 α - 2 π 6

C 1 = 6 α - 4 α + 2 π 6

C 1 = 2 α + 2 π 6

Com C 1 e C 2 obtidos, a solução completa é dada por

y t = 2 α + 2 π 6 e 4 t + 4 α - 2 π 6 e - 2 t

Interessante, não é?

Passo 4

Agora temos que calcular o limite dessa função quando t tende ao infinito

Ou seja

lim t → ∞ ⁡ 2 α + 2 π 6 e 4 t + 4 α - 2 π 6 e - 2 t

Como o limite da soma é igual a soma dos limites, temos

lim t → ∞ ⁡ 2 α + 2 π 6 e 4 t + l i m t → ∞ 4 α - 2 π 6 e - 2 t

Podemos tirar as constantes para fora dos limites, resultando em

2 α + 2 π 6 lim t → ∞ ⁡ e 4 t + 4 α - 2 π 6 l i m t → ∞ e - 2 t

Pelos gráficos de e t (em verde) e e - t (em azul), temos

Observamos que no infinito, e t tende a e e - t tende a 0 , ou seja

2 α + 2 π 6 ∞ + 4 α - 2 π 6 0

Se α > - π e 4 α - 2 π 6 resulta em uma constante qualquer, então

4 α - 2 π 6 0 = 0

2 α > - π

2 α > - 2 π

Dessa forma o numerador vai resultar em um valor positivo, já que 2 α + 2 π > - 2 π + 2 π ou seja 2 α + 2 π > 0 . Logo

α > - π → lim t → ∞ ⁡ 2 α + 2 π 6 e 4 t + 4 α - 2 π 6 e - 2 t = ∞

Se α = - π , temos

lim t → ∞ ⁡ - 2 π + 2 π 6 e 4 t + - 4 π - 2 π 6 e - 2 t

lim t → ∞ ⁡ 0 e 4 t + - 6 π 6 e - 2 t

lim t → ∞ ⁡ - π e - 2 t

Já vimos que e - t tende a 0 quanto t tende ao infinito, então

α = - π → lim t → ∞ ⁡ 2 α + 2 π 6 e 4 t + 4 α - 2 π 6 e - 2 t = 0

Está acompanhando?

Passo 5

Por fim, se α < - π , temos

lim t → ∞ ⁡ 2 α < - π + 2 π 6 e 4 t + 4 α < - π - 2 π 6 e - 2 t

Da primeira constante, podemos dizer que

2 α < - 2 π

2 α + 2 π < - 2 π + 2 π

2 α + 2 π < 0

Com isso, podemos afirmar que a primeira constante é negativa

Já para a segunda constante

4 α < - 4 π

4 α - 2 π < - 4 π - 2 π

4 α - 2 π < - 6 π

Essa constante resulta em um número que não vai fazer diferença, já que e - t vai para 0 no infinito.

E como a primeira constante resulta em um valor negativo, então

α < - π → lim t → ∞ ⁡ 2 α + 2 π 6 e 4 t + 4 α - 2 π 6 e - 2 t = - ∞

E essas são as possibilidades dos casos a), b) e c)!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a) α > - π → lim t → ∞ ⁡ 2 α + 2 π 6 e 4 t + 4 α - 2 π 6 e - 2 t = ∞

b) α = - π → lim t → ∞ ⁡ 2 α + 2 π 6 e 4 t + 4 α - 2 π 6 e - 2 t = 0

c) α < - π → lim t → ∞ ⁡ 2 α + 2 π 6 e 4 t + 4 α - 2 π 6 e - 2 t = - ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2