5. Determine os valores da constante raiz(λ) para que o problema de contorno

5^2 * y'' + 4 * λ * y = 0

y(0) = 0, y(π/2) , tenha solução não nula.

Escolha uma:

a . 5i, 10i, 15i, ...

b. 5, 10, 15, ...

c. -5, -10, -15, ...

d. Não é possível determinar os valores pedidos.

e. 6, 11, 16, ...

Passo 1

Nesse exercício vamos usar a equação característica inicialmente e depois vamos fazer algumas manipulações para chegar no resultado bonitinho que o exercício quer.

Não precisa ficar com dúvida que eu vou fazer passo a passo, então vem comigo!

Passo 2

5 2 y ' ' + 4 λ y = 0 ⇒   y ' ' + 4 λ 5 ² y = 0

Ou seja:

r 2 + 4 λ 5 ² = 0     ∴     r = ± - 16 25 λ 2 = ± 4 i λ 10 = ± 2 i λ 5

Sendo assim:

y ( x ) = c 1 e ( 2 i λ / 5 ) x + c 2 e ( - 2 i λ / 5 ) x

Passo 3

Usando uma condição dada pelo enunciado teremos:

Para x = 0 :

y 0 = c 1 + c 2 = 0     ⇒     c 1 = - c 2

Para x = π / 2  

y ( π / 2 ) = c 1 e ( i π λ ) / 5 + c 2 e ( - i π λ ) / 5 = 0

c 1 e ( i π λ ) / 5 = - c 2 e ( - i π λ ) / 5

Vimos que em x = 0 que c 1 = - c 2 , então:

e ( i π λ ) / 5 = e ( - i π λ ) / 5

Podemos escrever a equação como:

cos ⁡ π λ 5 + i sen ⁡ π λ 5 = cos ⁡ π λ 5 - i sen ⁡ π λ 5     ⇒     sen ⁡ λ 5   π = - sen ⁡ λ 5 π

Para essa igualdade ser satisfeita o sen ⁡ λ 5   π = 0 , ou seja, λ tem que ser um número inteiro e múltiplo de 5 . Ou seja:

λ 5   π = n π     ⇒     λ 5 = n     ∴     5 n = λ

Então nossa resposta é b .

Mas por que não pode ser c ? Porque queremos o valor de λ e é impossível que a raiz quadrada de qualquer valor seja um número negativo.

Resposta

b .   5 ,   10 ,   15 ,   . . .  

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