5 . Determine os valores da constante λ para que o problema de contorno

5 2 y ' ' + 4 λ y = 0

y 0 = 0 , y ( π / 2 ) , tenha solução não nula.

Escolha uma:

a .   5 i ,   10 i ,   15 i ,   . . .

b .   5 ,   10 ,   15 ,   . . .  

c .   - 5 ,   - 10 ,   - 15 ,   . . .

d . Não é possível determinar os valores pedidos.

e .   6 ,   11 ,   16 ,   …

Passo 1

Nesse exercício vamos usar a equação característica inicialmente e depois vamos fazer algumas manipulações para chegar no resultado bonitinho que o exercício quer.

Não precisa ficar com dúvida que eu vou fazer passo a passo, então vem comigo!

Passo 2

5 2 y ' ' + 4 λ y = 0 ⇒   y ' ' + 4 λ 5 ² y = 0

Ou seja:

r 2 + 4 λ 5 ² = 0     ∴     r = ± - 16 25 λ 2 = ± 4 i λ 10 = ± 2 i λ 5

Sendo assim:

y ( x ) = c 1 e ( 2 i λ / 5 ) x + c 2 e ( - 2 i λ / 5 ) x

Passo 3

Usando uma condição dada pelo enunciado teremos:

Para x = 0 :

y 0 = c 1 + c 2 = 0     ⇒     c 1 = - c 2

Para x = π / 2  

y ( π / 2 ) = c 1 e ( i π λ ) / 5 + c 2 e ( - i π λ ) / 5 = 0

c 1 e ( i π λ ) / 5 = - c 2 e ( - i π λ ) / 5

Vimos que em x = 0 que c 1 = - c 2 , então:

e ( i π λ ) / 5 = e ( - i π λ ) / 5

Podemos escrever a equação como:

cos ⁡ π λ 5 + i sen ⁡ π λ 5 = cos ⁡ π λ 5 - i sen ⁡ π λ 5     ⇒     sen ⁡ λ 5   π = - sen ⁡ λ 5 π

Para essa igualdade ser satisfeita o sen ⁡ λ 5   π = 0 , ou seja, λ tem que ser um número inteiro e múltiplo de 5 . Ou seja:

λ 5   π = n π     ⇒     λ 5 = n     ∴     5 n = λ

Então nossa resposta é b .

Mas por que não pode ser c ? Porque queremos o valor de λ e é impossível que a raiz quadrada de qualquer valor seja um número negativo.

Resposta

b .   5 ,   10 ,   15 ,   . . .  

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2