Considere a equação de Laplace ∇ 2 V r → = 0 em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0 .  

a ) Supondo que a solução V r , θ , z seja separável, na forma V r , θ , z = R r Q θ Z z , mostre que a equação de Laplace pode ser escrita como:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - 1 Z d 2 Z d z 2    

Passo 1

Fala aí pessoal, como vocês estão?

Nessa questão recebemos a equação de Laplace, porém em coordenadas cilíndricas, o que a deixou beeeem feinha haha.

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0

O enunciado nos pede para supor que a solução V ( r , θ , z ) é separável. Sendo assim, pode ser escrita como:

V r , θ , z =   R r Q θ Z z

E, a partir disso, mostrar que podemos reescrever aquela equação de Laplace mais feia como:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - 1 Z d 2 Z d z 2

Então vamos lá! Primeiramente calculamos como vai ficar cada um dos três termos da equação de Laplace e depois substituímos na equação dada.

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar analisando:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r

Como V é escrito por:

V = R ⋅ Q ⋅ Z

Temos que:

∂ V ∂ r = Q Z ⋅ d R d r

Daí, colocando as constantes para fora da integral podemos escrever:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r = Q Z ⋅ 1 r ⋅ d d R r d R d r

Massa! Vamos agora analisar o próximo termo:

1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2

Usando o fato de V ser separável, temos:

∂ 2 V ∂ θ 2 = R Z ⋅ d 2 Q d θ 2

Daí, substituindo na expressão, ficamos com:

1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 = R Z ⋅ 1 r 2 ⋅ d 2 Q d θ 2

Por fim, temos o termo:

∂ 2 V ∂ z 2

Como a equação é separável, ele vale:

∂ 2 V ∂ z 2 = R Q ⋅ d 2 Z d z 2

Muito bom!

Passo 3

Agora que já adaptamos cada termo da equação de Laplace à separação de variáveis, vamos juntar tudo:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 =

= Q Z ⋅ 1 r ⋅ d d R r d R d r + R Z ⋅ 1 r 2 ⋅ d 2 Q d θ 2 + R Q ⋅ d 2 Z d z 2 = 0  

Dividindo por R Q Z em ambos os lados da equação, temos:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 + 1 Z d 2 Z d z 2 = 0

Passando o último termo da soma para o outro lado da igualdade ficamos com:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - 1 Z d 2 Z d z 2

Que é exatamente o que queríamos provar!!

Então é isso gente bonita, até a próxima 😉

Resposta

Resposta no texto.

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Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2