UNB, Sem Campus, Cálculo 3, Provas Fundamentos Matemáticos da Física B - 2022.2, Questão 4a
Considere a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas:
Supondo que a solução seja separável, na forma mostre que a equação de Laplace pode ser escrita como:
Passo 1
Fala aí pessoal, como vocês estão?
Nessa questão recebemos a equação de Laplace, porém em coordenadas cilíndricas, o que a deixou beeeem feinha haha.
O enunciado nos pede para supor que a solução é separável. Sendo assim, pode ser escrita como:
E, a partir disso, mostrar que podemos reescrever aquela equação de Laplace mais feia como:
Então vamos lá! Primeiramente calculamos como vai ficar cada um dos três termos da equação de Laplace e depois substituímos na equação dada.
Vamo nessa!
Passo 2
Vamos começar analisando:
Como é escrito por:
Temos que:
Daí, colocando as constantes para fora da integral podemos escrever:
Massa! Vamos agora analisar o próximo termo:
Usando o fato de ser separável, temos:
Daí, substituindo na expressão, ficamos com:
Por fim, temos o termo:
Como a equação é separável, ele vale:
Muito bom!
Passo 3
Agora que já adaptamos cada termo da equação de Laplace à separação de variáveis, vamos juntar tudo:
Dividindo por em ambos os lados da equação, temos:
Passando o último termo da soma para o outro lado da igualdade ficamos com:
Que é exatamente o que queríamos provar!!
Então é isso gente bonita, até a próxima 😉
Resposta
Resposta no texto.