A posição de um determinado sistema massa-mola satisfaz o PVI

3 4 y ' ' + k 2 y = 0 ,   y ( 0 ) = 2 ,   y ' ( 0 ) = 1

( b ) Se observa-se que o período do movimento resultante é π , ou seja y ( t + π ) = y ( t ) , para todo t ∈ ℝ , Determine os valores de k .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Nós encontramos na alternativa anterior que

y ( t ) = 3 2 k s e n ( 2 k 3 3 t ) + 2 c o s ( 2 k 3 3 t )

é solução para o PVI dado no enunciado. No entanto, a solução está em função de k , precisamos usar o fato de que o período da função é π para encontrar os valores de k , uma vez que isso garante

y ( t + π ) = y ( t )

Podemos usar a periodicidade da função juntamente com a posição inicial dada para encontrar os valores de k pedidos! Saca só!

Passo 2

Na alternativa anterior nos foi dado que y ( 0 ) = 2 , e portanto, como a função é periódica, é necessário que

y ( 0 + π ) = y ( π ) = 2

usando esta informação, temos que

2 = 3 2 k s e n ( 2 k 3 3 π ) + 2 c o s ( 2 k 3 3 π )

uma possibilidade para os valores de k é aquela na qual

s e n ( 2 k 3 3 π ) = 0 e c o s ( 2 k 3 3 π ) = 1

Isso ocorre quando

2 k 3 3 = 2 m

em que 2 m é um número inteiro par! Portanto, os valores possíveis de k são

k = 3 m 3 = 3 m

com m ∈ ℤ . E, esses são os valores de k desejados. Essa alternativa é isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

k = 3 m

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2