A posição de um determinado sistema massa-mola satisfaz o PVI

3/4 y'' + k^2 y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1

(b) Se observa-se que o período do movimento resultante é pi , ou seja y(t + pi) = y(t) , para todo t ∈ R , Determine os valores de k .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Nós encontramos na alternativa anterior que

y ( t ) = 3 2 k s e n ( 2 k 3 3 t ) + 2 c o s ( 2 k 3 3 t )

é solução para o PVI dado no enunciado. No entanto, a solução está em função de k , precisamos usar o fato de que o período da função é π para encontrar os valores de k , uma vez que isso garante

y ( t + π ) = y ( t )

Podemos usar a periodicidade da função juntamente com a posição inicial dada para encontrar os valores de k pedidos! Saca só!

Passo 2

Na alternativa anterior nos foi dado que y ( 0 ) = 2 , e portanto, como a função é periódica, é necessário que

y ( 0 + π ) = y ( π ) = 2

usando esta informação, temos que

2 = 3 2 k s e n ( 2 k 3 3 π ) + 2 c o s ( 2 k 3 3 π )

uma possibilidade para os valores de k é aquela na qual

s e n ( 2 k 3 3 π ) = 0 e c o s ( 2 k 3 3 π ) = 1

Isso ocorre quando

2 k 3 3 = 2 m

em que 2 m é um número inteiro par! Portanto, os valores possíveis de k são

k = 3 m 3 = 3 m

com m ∈ ℤ . E, esses são os valores de k desejados. Essa alternativa é isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

k = 3 m

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