Dilatação Térmica

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Teoria

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma barra homogênea é aquecida de 100 ° C até 150 ° C . Sabendo-se que o comprimento inicial da barra é 5 m e que o coeficiente de dilatação linear da barra vale 1,2 ⋅ 10 - 5 ° C - 1 , podemos afirmar que a dilatacao ocorrida, em m , é igual a:

  1. 5,1
  2. 5 ⋅ 10 - 3
  3. 3 ⋅ 10 - 3
  4. 2 ⋅ 10 - 4
  5. 2 ⋅ 10 4

Passo 1

Oiii gente bonita, vamo que vamo no nosso estudo de dilatação térmica!

Bom vamos começar separando as informações que o enunciado da pra gente, temos que

T 0 = 100 ° C

T f = 150 ° C

L 0 = 5 m

α = 1,2 ⋅ 10 - 5 ° C - 1

Δ L = ?

Passo 2

Show, separamos tudo bonitinho, agora vamos meter bronca na questão!

A nossa formulinha de dilatação linear é assim

Δ L = L 0 ⋅ α ⋅ Δ T

“Mas quem é esse tal de Δ T ?? Não deram isso no enunciado!” A gente tem as temperaturas final e inicial, então podemos fazer isso daqui ó:

Δ T = T f - T 0

Δ T = 150 - 100

Δ T = 50 ° C

Uhul!

Passo 3

Agora que a gente tem tudo, vamos substituir na nossa formulinha

Δ L = 5 ⋅ 1,2 ⋅ 10 - 5 ⋅ 50

Vamos multiplicar tudo menos a potência de 10 , ficando com

Δ L = 300 ⋅ 10 - 5 m

Uééé mas não tem essa opção! Relaxa, só precisamos dar uma ajeitada na resposta, se liga no que vamos fazer

300 = 3 ⋅ 100

Colocando o 100 em potência de 10 , temos

300 = 3 ⋅ 10 2

Agora vamos ver isso daí no nosso Δ L

Δ L = 3 ⋅ 10 2 ⋅ 10 - 5

Opa, mesma base, vamos somar os expoentes

Δ L = 3 ⋅ 10 2 + - 5

Δ L = 3 ⋅ 10 - 3 m

Resposta

c) Δ L = 3 ⋅ 10 - 3 m

Exercício Resolvido #2

Um fio de cobre com comprimento inicial de 50 m , sofre aumento de temperatura de 30 ° C . O coeficiente de dilatação linear do cobre é 17 ⋅ 10 - 6 ° C - 1 Determine a dilatação linear ocorrida no fio.

Passo 1

Faaaala aí! Bora pra mais uma questãozinha de dilatação térmica!

O enunciado dá pra gente varias informações importantes, vamos separá-las pra ficar mais claro!

L 0 = 50 m

Como a gente tem um “aumento de temperatura de 30 ° C ” temos que

Δ T = 30 ° C

α = 17 ⋅ 10 - 6 ° C - 1

E ele quer a dilatação linear, ou seja

Δ L = ?

Passo 2

Show de bola, já separamos o que a gente precisava agora vamos lembrar como é nossa formula de dilatação linear:

Δ L = L 0 ⋅ α ⋅ Δ T

Temos tudo que precisamos, então é só substituir na equação!

Δ L = 50 ⋅ 17 ⋅ 10 - 6 ⋅ 30

Vamos começar multiplicando tudo menos a potencia de 10

Δ L = 25500 ⋅ 10 - 6

Passo 3

Show, agora pra gente ajeitar essa potência, vamos imaginar que a vírgula está depois do último zero e vamos do 25500 e deslocar uma virgula pra esquerda 6 vezes (porque é 10 - 6 hehe)

Então ficamos com

Δ L = 0,0255 m

Resposta

Δ L = 0,0255 m

Exercício Resolvido #3

Uma barra homogênea de determinado material sofre uma dilatação de 0,0015 m quando é submetida a uma variação de temperatura de   100 ° C . Sabendo-se que o comprimento inicial da barra era de 3 m , encontre o coeficiente de dilatação linear da barra, em C - 1 .

Passo 1

Opaaa, e ai? Preparado pra mais uma questão de dilatação térmica? Então simbora!

Vamos começar separando as informações que o enunciado deu pra gente, então vamo que vamo, temos que

Δ L = 0,0015 m

Δ T = 100 ° C

L 0 = 3 m

α = ?

Passo 2

Show de bola, já temos tudo preparadinho agora é só chutar pro gol e partir pro abraço!

Vamos relembrar nossa formulinha de dilatação linear:

Δ L = L 0 ⋅ α ⋅ Δ T

Temos as informações bonitinhas, é só substituir

0,0015 = 3 ⋅ α ⋅ 100

Vamos ajeitar esse 0,0015   pra ficar mais bonitinho, usando potências de 10 .

Vamos pegar esse número cheio de zero e colocar desse jeitinho aqui:

15 ⋅ 10 - 4

E pra que isso?? Quando a gente multiplica por 10 - 4 é como se dividíssemos por 10.000 (repare que tem 4 zeros, não é coincidência hehe) que dá 0,0015. Assim só deixa mais fácil de entender as continhas 😊

Podemos ajeitar o 100 também como 10 2

15 ⋅ 10 - 4 = 3 ⋅   α ⋅ 10 2

Vamos deixar o α sozinho

α = 15 ⋅ 10 - 4 3 ⋅ 10 2

Passo 3

Nosso último passo é ajeitar essa divisão!

α = 15 ⋅ 10 - 4 3 ⋅ 10 2

Vamos separar assim

α = 15 3 ⋅ 10 - 4 10 2

Na primeira parte podemos simplificar de boinhas

α = 5 ⋅ 10 - 4 10 2

Na segunda parte, temos uma divisão de potências com a mesma base, então é só repetir a base e subtrair os expoentes

α = 5 ⋅ 10 - 4 - 2

α = 5 ⋅ 10 - 6 ° C - 1

Resposta

α = 5 ⋅ 10 - 6 ° C - 1

Exercício Resolvido #4

Uma indústria que fabrica objetos de ouro, deve aquecer uma caixa de ouro de 25 ° C até 80 ° C , o seu volume incial é igual a 4 c m 3 .   Sendo o coeficiente de dilatação volumétrico do ouro igual a 14 ⋅ 10 - 6 ° C - 1 , determine o valor da dilatação sofrida pela caixa.

Passo 1

Ooopa, e ai galerinha! Vamos continuar com as nossas dilatações térmica hehe

Vamos começar separando os dados do enunciado

T 0 = 25 ° C

T f = 80 ° C

V 0 = 4 c m 3

γ = 14 ⋅ 10 - 6 ° C - 1

Δ V = ?

Passo 2

Show galerinha, vamo que vamo então, o que o enunciado quer da gente é a dilatação sofrida pela caixa, ou seja, nosso Δ V !!

Vamos relembrar nossa formulinha:

Δ V = V 0 ⋅ γ ⋅ Δ T

Vamos achar esse famoso Δ T

Δ T = T f - T 0

Δ T = 80 - 25

Δ T = 55 ° C

Passo 3

Uhul, achamos o nosso Δ T , vamos colocar tudo na nossa formulinha então

Δ V = V 0 ⋅ γ ⋅ Δ T

Δ V = 4 ⋅ 14 ⋅ 10 - 6 ⋅ 55

Δ V = 3.080 ⋅ 10 - 6

Colocando em notação cientifica, pra ficar mais bonitinho, temos

Δ V = 3,080 ⋅ 10 - 3   c m 3

Repare que a unidade do volume inicial do objeto de ouro é dado em c m 3 e, por isso, nossa resposta da variação do volume também foi dada em c m 3 , beleza?

Resposta

Δ V = 3,080 ⋅ 10 - 3   c m 3

Exercício Resolvido #5

Um estudante decide construir um termômetro utilizando a dilatação térmica de uma barra metálica, cujo coeficiente de dilatação linear é α = 5 ⋅ 10 - 3 ° C - 1 . A barra tem comprimento de 100   c m a temperatura de 25 ° C . Se um determinado dia a barra mede 105   c m , qual a temperatura daquele dia?

Passo 1

E ai galerinha, tudo bem? Vamos seguir com os nossos estudos de dilatação térmicaa!

Vamos começar separando os dados do enunciado! α = 5 ⋅ 10 - 3 ° C - 1  

L 0 = 100 c m

T 0 = 25 ° C

L f = 105 c m

T f = ?

Passo 2

Show galerinha, vamo que vamo então, o que o enunciado quer da gente é a temperatura do dia, ou seja, a temperatura final!

Lembrando aqui a nossa formulinha de dilatação linear

Δ L = L 0 ⋅ α ⋅ Δ T

Quando a gente tem Δ , geralmente quer dizer a variação, ou seja final menos inicial, então

Para L

Δ L = L f - L 0

Δ L = 105 - 100

Δ L = 5 c m

Agora para T

Δ T = T f - T 0

Δ T = T f - 25

e vamos deixar assim mesmo, já que não sabemos quem é o T f 😊

Passo 3

Show, vamos colocar isso na nossa formulinha

Δ L = L 0 ⋅ α ⋅ Δ T

5 = 100 ⋅ 5 ⋅ 10 - 3 ⋅ T f - 25

Vamos fazer essas contas com calma, primeiro multiplicamos o 100 com o 5 , ficando com

5 = 500 ⋅ 10 - 3 ⋅ T f - 25

Agora aquela potência de 10 vai fazer andar com a vírgula 3 casas para a esquerda assim ó

500 ⋅ 10 - 3 = 0,500

e isso é a mesma coisa que 0,5 . Então nossa equação agora fica

5 = 0,5 ⋅ T f - 25

Podemos escrever 0,5 como 5 10 que simplificando fica 1 2

Então temos que

5 = 1 2 T f - 25

Passando esse 2 que ta no denominador, dividindo, pro outro lado multiplicando, temos

10 = T f - 25

que é a mesma coisa que

T f - 25 = 10 Agora, passando esse - 25 pro outro lado, mudando o sinal, temos:

T f = 10 + 25

T f = 35 ° C

Ufa! Essas continhas foram um pouco chatas, mas com um pouco de prática a gente pega o jeito 😉

Resposta

T f = 35 ° C

Exercício Resolvido #6

Uma barra de ferro é aquecida de 20 ° C até 70 ° C . Sabendo que o comprimento da barra a 20 ° C é de 3,000 m e que o coeficiente de dilatação linear é igual a 1,2 ⋅ 10 - 5 ° C - 1

Determine:

  1. A dilatação na barra
  2. O comprimento final

Passo 1

Faala galerinha, tudo certinho? Espero que sim porque vamos partir pra cima desse exercício de dilatação térmica!

Bom, o enunciado dá umas informações importantes pra gente!

T 0 = 20 ° C

T f = 70 ° C

L 0 = 3,000 m

α = 1,2 ⋅ 10 - 5 ° C - 1

Passo 2

Belezinha, separamos nossas informações! Vamos começar os trabalhos então, a nossa formulinha de dilatação linear é assim

Δ L = L 0 ⋅ α ⋅ Δ T

A primeira coisa que a gente precisa então é achar esse Δ T

Δ T = T f - T 0

Δ T = 70 - 20

Δ T = 50 ° C

Passo 3

Shoow, agora a gente já tem todas as informações que a gente precisa! Vamos substituir na nossa formulinha

Δ L = L 0 ⋅ α ⋅ Δ T

Δ L = 3,000 ⋅ 1,2 ⋅ 10 - 5 ⋅ 50

Vamos multiplicar primeiro tudo o que não for potência de 10

Δ L = 180 ⋅ 10 - 5 m

E o que a gente faz quando temos esse 10 - 5 ?   Bem... podemos pensar de duas formas

  • Forma 1 : Andar com a vírgula 5 casas para a esquerda assim
  • 180 ⋅ 10 - 5 = 0,00180

  • Forma 2 : Dividir o 180 por 100.000 (repare que tem 5 zeros, igual ao expoente da potência)

180 ⋅ 10 - 5 = 180 100.000 = 0,00180

Pode ficar a vontade para escolher a forma que gostar mais 😊

Então ficamos com

Δ L = 0,00180 m

Passo 4

  1. O comprimento final

Para acharmos o comprimento final a gente vai fazer isso daqui

L f = L 0 + Δ L

L f = 3,000 + 0,00180

L f = 3,0018 m

Resposta

Δ L = 0,00180 m

L f = 3,0018 m

Exercício Resolvido #7

Um fio de latão tem 20 m de comprimento a 0 ° C . Determine o seu comprimento se ele for aquecido até a temperatura de 80 ° C . Considere o coeficiente de dilatação linear médio do latão igual a 18 ⋅ 10 - 6 ° C - 1 .

Passo 1

Faaala galerinha bonita, bora seguir com nossas questões de dilatação térmica!

Bom a primeira coisa que a gente vai fazer é tirar os importantes do enunciado, vamos lá então

L 0 = 20 m

T 0 = 0 ° C

T f = 80 ° C

α = 18 ⋅ 10 - 6 ° C - 1

L f = ?

Passo 2

Beleza, separamos tudinho que ele dá pra gente, agora vamos partir pra cima! Lembrando que nossa formulinha é

Δ L = L 0 ⋅ α ⋅ Δ T

Vamos achar Δ T :

Δ T = T f - T 0

Δ T = 80 - 0

Δ T = 80 ° C

Passo 3

Então, substituindo, temos que

Δ L = 20 ⋅ 18 ⋅ 10 - 6 ⋅ 80

Vamos multiplicar primeiro tudo o que não for potência de 10

Δ L = 28800 ⋅ 1 0 - 6 m

E o que a gente faz quando temos esse 10 - 6 ?   Bem... podemos pensar de duas formas

  • Forma 1 : Andar com a vírgula 6 casas para a esquerda assim
  • 28800 ⋅ 10 - 6 = 0,028800

  • Forma 2 : Dividir o 28800 por 1.000.000 (repare que tem 6 zeros, igual ao expoente da potência)

28800 ⋅ 10 - 5 = 28800 1.000.000 = 0,028800

Pode ficar a vontade para escolher a forma que gostar mais 😊

Então ficamos com

Δ L = 0,0288 m

Passo 4

Maaas segura ai, ele não pede pra gente o Δ L e sim o comprimento final, o L f , então vamos fazer isso daqui

L f = L 0 + Δ L

Como já temos as duas informações, é só substituir

L f = 20 + 0,028

L f = 20,0288 m

Agora sim!

Resposta

L f = 20,0288 m

Exercício Resolvido #8

Uma barra de prata tem a 10 ° C o comprimento de 100 c m . Determine em que temperatura a barra apresenta o comprimento final de 100,045   c m . O coeficiente de dilatação linear médio do metal vale 2 ⋅ 10 - 6 ° C - 1

Passo 1

Faaaaala ai galerinha, vamos continuar com nossos estudos de dilatação térmica!!

O enunciado da pra gente um bocado de informações, vamos analisa-las então! T 0 = 10 ° C

L 0 = 100 c m

L f = 100,045 c m

α = 15 ⋅ 10 - 6 ° C - 1

E ele quer

T f = ?

Passo 2

Beleza, já separamos nossas informações, então vamos relembrar nossa formulinha da dilatação linear! Δ L = L 0 ⋅ α ⋅ Δ T

Ixiii, mas quem são esses Δ L e Δ T ? ?

Quando a gente tem um Δ ele geralmente é o final menos o inicial, ou seja,

Para Δ L

Δ L = L f - L 0

Δ L = 100,045 - 100

Δ L = 0,045 c m

Para Δ T

Δ T = T f - T i

Δ T = T f - 10

Passo 3

Uhul, achamos tudo da nossa formulinha vamos então partir pra cima dela!

Δ L = L 0 ⋅ α ⋅ Δ T

0,045 = 100 ⋅ 15 ⋅ 10 - 6 ⋅ T f - 10

Vamos ajeitar isso daí, temos que 100 = 10 2

0,045 = 15 ⋅ 10 2 ⋅ 10 - 6 ⋅ T f - 10

Vamos juntar essas potências de 10 . Lembrem da regrinha da multiplicação na mesma base, repete a base e soma os expoentes

0,045 = 15 ⋅ 10 - 4 ⋅ T f - 10

Agora, passando esse 15 ⋅ 10 - 4 dividindo pro outro lado, temos

T f - 10 = 0,045 15 ⋅ 10 - 4

Vamos fazer essa conta com calma, primeiro ajeitamos o lado direito assim

T f - 10 = 0,045 15 ⋅ 1 10 - 4

Quando temos uma potência no denominador, podemos levar ela pra cima invertendo o sinal do expoente

T f - 10 = 0,045 ⋅ 10 4 15

Agora podemos multiplicar o numerador, lembrando que aquele 10 4 é a mesma coisa que 10.000

T f - 10 = 450 15

Fazendo a divisão, a gente tem

T f - 10 = 30

Passando o - 10 pro outro lado, temos:

T f = 30 + 10

T f = 40 ° C

Rio 40 graus!

É isso galerinha, bora seguir praticando!!

Resposta

T f = 40 ° C

Exercício Resolvido #9

Um frasco de vidro, cujo volume é 2000   c m 3 a 0 ° C , está completamente cheio de mercúrio a esta temperatura. Sabe-se que o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é 1,8 ⋅ 1 0 - 4   ° C - 1  e o coeficiente de dilatação linear do vidro de que é feito o frasco é de 1,0 ⋅ 1 0 - 5 ° C - 1 . O volume de mercúrio que irá entornar, em c m 3 , quando o conjunto for aquecido até 100 ° C , será:

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo bem? Vamos continuar com os nossos estudos de dilatação térmicaa!

Vamos começar com o de sempre, separando os dados do enunciado!Para o vidro

V 0 = 2.000   c m 3

T 0 = 0 ° C

T f = 100 ° C

Δ T = 100 - 0 = 100 ° C

α = 1,0 ⋅ 10 - 5 ° C - 1

Para o mercúrio

V 0 = 2.000 c m 3

T 0 = 0 ° C

T f = 100 ° C

Δ T = 100 - 0 = 100 ° C

γ = 1,8 ⋅ 10 - 4   ° C - 1

Passo 2

Show galerinha, vamo que vamo então, o que o enunciado quer da gente e o volume de mercúrio que vai entornar. Vamos entender o que isso significa primeiro.

Pensa comigo, se o mercúrio dilatar mais do que o vidro, então o volume final do mercúrio será maior que a do vidro e transbordará, então o que precisamos é disso aqui

V e n t o r n a d o = Δ V m e r c u r i o - Δ V v i d r o

Pra isso a gente vai separar em duas partes, vamos primeiro fazer a dilatação volumétrica do mercúrio depois do vidro!

Passo 3

Começando pelo mercúrio

Δ V m e r c u r i o = V 0 ⋅ γ ⋅ Δ T

Δ V m e r c u r i o = 2.000 ⋅ 1,8 ⋅ 10 - 4 ⋅ 100

Fazendo essas continhas, temos que

Δ V m e r c u r i o = 36 c m 3

Segura isso daí que daqui a pouco a gente vai usar!

Passo 4

Bora pro Δ V v i d r o !

“Mas o enunciado dá pra gente o coeficiente angular, e agora???” Relaxa jovem padauam, a gente tem uma relaçãozinha mágica entre os coeficientes que é assim

α 1 = β 2 = γ 3

Como a gente ta relacionando linear ( α )   com volumétrico γ temos que

α 1 = γ 3 →   γ = 3 α

Show, agora podemos colocar na dilatação volumétrica do vidro Δ V v i d r o = V 0 ⋅ γ ⋅ Δ T

Δ V v i d r o = V 0 ⋅ 3 α ⋅ Δ T

Beleza, temos tudo então é so substituir

Δ V v i d r o = 2.000 ⋅ 3 ⋅ 1,0 ⋅ 10 - 5 ⋅ 100

Fazendo essas continhas, temos

Δ V v i d r o = 6 c m 3

Passo 5

Uhul, achamos as duas dilatações, então vamos colocar na formulinha que vimos antes

V e n t o r n a d o = Δ V m e r c u r i o - Δ V v i d r o

V e n t o r n a d o = 36 c m 3 - 6 c m 3

V e n t o r n a d o = 30 c m 3

Resposta

V e n t o r n a d o = 30 c m 3

Exercício Resolvido #10

Considere um microssistema abaixo formado por duas pequenas peças metálicas, I e I I , presas em duas paredes laterais. Observamos que, na temperatura de 15 ° C , a peça I tem tamanho igual a 2   c m , quanto a peça I I tem apenas 1   c m de comprimento. Ainda nesta temperatura as peças estavam afastadas apenas por uma pequena distancia d igual a 5 ⋅ 10 - 3 c m . Sabendo-se que o coeficiente de dilatação α I da pela I é igual a 3 ⋅ 10 - 5 ° C - 1 e que o da peça I I α I I é igual a 4 ⋅ 10 - 5 ° C - 1 . Qual deve ser a temperatura do sistema, em ° C , para que as duas peças entrem em contato sem empenar?

Passo 1

Faaala galerinha, temos ai mais uma questão de dilatação térmica!

Vamos começar fazendo o que? Se você disse separando as informações do enunciado, acertou!! Vambora então! A gente tem que

Para peça I

L 0 = 2   c m

α I = 3 ⋅ 10 - 5 ° C - 1

Para peça I I

L 0 = 1   c m

α I I = 4 ⋅ 10 - 5 ° C - 1

Para as duas peças:

T 0 = 15 ° C

T f = ?

d = 5 ⋅ 10 - 3 c m

Vamos ter então que

Δ T = T f - 15

Passo 2

Show galerinha, vamos analisar mais um pouco esse enunciado, ele quer a temperatura pras placas se encontrarem, ou seja, ele quer que a dilatação seja igual a d !Para isso acontecer a gente precisa que

Δ L t o t a l = 5 ⋅ 10 - 3 c m

E quem é esse Δ L t o t a l ? ?

Vai ser a soma das dilatações, então temos

Δ L t o t a l = Δ L I + Δ L I I

Δ L I + Δ L I I = 5 ⋅ 10 - 3 c m

Passo 3

Show, vamos calcular então esses nossos Δ L ’s

Comecando pelo Δ L I

Δ L I = L 0 I ⋅ α I ⋅ Δ T

Δ L I = 2 ⋅ 3 ⋅ 10 - 5 ⋅ T f - 15

Δ L I = 6 ⋅ 10 - 5 T f - 15

Fazendo a distributiva, temos que

Δ L I = 6 T f ⋅ 10 - 5 - 90 ⋅ 10 - 5

Show, vamos guardar esse resultado e partir agora para Δ L I I Δ L I I = L 0 I I ⋅ α I I ⋅ Δ T

Δ L I I = 1 ⋅ 4 ⋅ 10 - 5 ⋅ T f - 15

Δ L I I = 4 ⋅ 10 - 5 T f - 15

Fazendo a distributiva, temos que

Δ L I I = 4 T f ⋅ 10 - 5 - 60 ⋅ 10 - 5

Passo 4

Show, achamos os dois Δ L , vamos lembrar que

Δ L I + Δ L I I = 5 ⋅ 10 - 3 c m

Substituindo isso daí, ficamos com

6 T f ⋅ 10 - 5 - 90 ⋅ 10 - 5 + 4 T f ⋅ 10 - 5 - 60 ⋅ 10 - 5 = 5 ⋅ 1 0 - 3 Vamos ajeitar o lado esquerdo, juntando o que tem T f e o que não tem

10 T f ⋅ 10 - 5 - 150 ⋅ 10 - 5 = 5 ⋅ 10 - 3

Vamos passar tudo pra mesma potência de 10 , ajeitando o lado direito, temos

10 T f ⋅ 10 - 5 - 150 ⋅ 10 - 5 = 500 ⋅ 10 - 5

Ufa, podemos sumir com essas potências feias, pra ficar mais bonitinho de visualizar

10 T f - 150 = 500

Passando o 150 pro outro lado, temos

10 T f = 500 + 150

10 T f = 650

Passando esse 10 dividindo, temos:

T f = 650 10

Isso nos dá:

T f = 65 ° C

Resposta

T f = 65 ° C