Um atacadista deseja cobrar R $ 2,00 por cada metro de tecido até 10 metros e R $ 1,50 por cada metro a partir de 10 metros. Para tanto, ele estipulou o preço P ( x ) de x metros por

P x = 2 x ,       0 ≤ x ≤ 10 1,5 x ,       10 < x

  1. Quanto se paga por 9 e por 12 metros? Explique por que a função acima não reflete o desejo do atacadista.
  2. Alterando a segunda linha para P x = 1,5 x + A , 10 < x , use a definição de continuidade para determinar a constante A de modo que a função satisfaça o desejo do atacadista. Quais os preços de 9 e 12 metros, usando a função modificada?

Passo 1

Beleza, pessoal, questão da vida real aqui! Vamos começar a letra “a” usando a função que ele nos deu P ( x ) quando queremos comprar 9 metros e 12 metros, então vamos substituir o valor de x uma vez por 9 e outra vez por 12 . Vamos começar descobrindo quanto eu pago por 9 metros:

x = 9

Por ser um valor menor que 10 metros, então usamos essa função aqui:

P x = 2 x

Substituindo o valor de x , então:

P 9 = 2 ⋅ 9 = 18

Pagarei então 18 reais!

Passo 2

Agora quanto eu quero 12 metros, eu tenho que usar a função para x maior que 10 metros:

P x = 1,5 x

Substituindo o valor de x = 12 :

P 12 = 1,5 ⋅ 12 = 18

Então eu pago 18 reais! Mas pera ai, como é que pode eu comprar 12 metros e pagar a mesma coisa do que se eu estivesse comprando 9 metros? Essa função para calcular o preço está furada!

Passo 3

Agora vamos partir para a letra “b”, ele nos pergunta se alterarmos a segunda parte da função para:

P x = 1,5 x + A , 10 < x

Vamos usar a Continuidade para determinar o valor de A ! Quando usamos a Continuidade, precisamos fazer o limite se aproximar do ponto de encontro entre as funções, esse ponto de encontro acontece quando:

x = 10

Então a partir do Princípio da Continuidade, nós temos que:

lim x → 10 + ⁡ P ( x ) = P ( 10 )

Vamos colocar nossas expressões nesses locais:

lim x → 10 + ⁡ P x = lim x → 10 + ⁡ 1,5 x + A

Enquanto:

P x = 2 x ,       0 ≤ x ≤ 10

Então:

P 10 = 2 ⋅ 10 = 20

Passo 4

Resolvendo o limite, nós temos:

lim x → 10 + ⁡ P x = lim x → 10 + ⁡ 1,5 x + A

Vamos substituir o valor de x = 10 :

lim x → 10 + ⁡ P x = lim x → 10 + ⁡ 1,5 ⋅ 10 + A = 15 + A

Agora vamos igualar ao valor da função no ponto x = 10 :

lim x → 10 + ⁡ P ( x ) = P ( 10 )

Substituindo os valores que encontramos:

15 + A = 20

Então, o valor de A é:

A = 5

Passo 5

Agora que sabemos que a expressão da função é:

P x = 2 x ,       0 ≤ x ≤ 10 1,5 x + 5 ,       10 < x

Então vamos calcular o preço para 9 metros. Como o valor de x = 9 é menor que 10 , então:

P x = 2 ⋅ x → P 9 = 2 ⋅ 9 = 18

18 reais pelos 9 metros de tecido.

Agora calculando o preço de 12 metros de tecido. Como o valor de x = 12 é maior que 10 , então:

P x = 1,5 x + 5 → P 12 = 1,5 ⋅ 12 + 5 = 23

Então temos o valor de 23 reais pelos 12 metros de tecido

Resposta

  1. 18   r e a i s   e   18   r e a i s .

A = 5

18   r e a i s   e   23   r e a i s

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )