Calcule os seguintes limites (não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):

c lim x → 0 ⁡ f x , onde

f x = sen ⁡ x x + sen ⁡ x ,       s e   x ≠ 0 0 ,       s e   x = 0

A função f é contínua em x = 0 ? (Justifique!)

Passo 1

Para que função f x seja contínua em x = 0 , temos que validar a continuidade dessa função:

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x + sen ⁡ x = 0

Vamos calcular o limite que apareceu e ver se ele vai para 0 .

Passo 2

Substituindo o limite, nós teremos:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x + sen ⁡ x = 0 0 + 0 = 0 0

Precisamos fugir dessa indeterminação. Pra isso, podemos dividir o termo em cima e embaixo por x . Isso vai fazer surgir o limite fundamental trigonométrico:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x + sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 1 x x + sen ⁡ x 1 x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 1 + sen ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 1 + lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x

Passo 3

Como a gente sabe, esse limite vale:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Logo,

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 1 + lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1 1 + 1 = 1 2

Como a gente vê, o limite não deu 0 , então a função não é contínua em x = 0 .

Resposta

N ã o ,   p o i s   lim x → 0 ⁡ f x ≠ f 0

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )