Seja f x = x 2 - 3 x 3 sen ⁡ 1 x - 3 3 + arctg ⁡ x ,     s e   x ≠ 3 1 ,                                                         s e   x = 3

a ) Determine todos os pontos em que f não é contínua. Justifique.

b ) Determine todos os pontos em que f não é derivável. Justifique.

c ) Calcule a derivada de f nos pontos em que f é derivável.

Passo 1

a ) Bom, vamos olhar primeiro para o formato de cada função dentro de seu domínio:

f x = x 2 - 3 x 3 sen ⁡ 1 x - 3 3 + arctg ⁡ x ,     s e   x ≠ 3 1 ,                                                         s e   x = 3

A função de cima tem uma raiz cúbica (o que não gera problema com o sinal do que está dentro), um seno de argumento 1 x - 3 , forçando esse domínio a ser diferente de zero. Porém essa lei de formação é dada justamente " s e   x ≠ 3 " . Embaixo temos um denominador que não pode zerar, ou seja:

3 + arctg ⁡ x ≠ 0

arctg ⁡ x ≠ - 3

x ≠ tg ⁡ ( - 3 )

Ou seja, temos uma indeterminação nesse termo. De resto, o único ponto que falta ser analisado é aquele no qual a lei de formação muda, o x = 3 , onde o limite do termo grandão tem que ser igual a 1 para ser contínua:

lim x → 3 ⁡ x 2 - 3 x 3 sen ⁡ 1 x - 3 3 + arctg ⁡ x = ( 0 ) sen ⁡ ∞ 3 + arctg ⁡ 3 = 0 [ ± 1 ] 3 + arctg ⁡ 3 = 0

Usei o Teorema do Confronto naquele seno ali. Bom, concluímos que a função é descontínua nesse ponto, já que f 3 = 1 . No fim das contas, a função é descontínua em x = tg ⁡ ( - 3 ) e em x = 3 .

Resposta

a )   f u n ç ã o   é   d e s c o n t í n u a   e m   x = tg ⁡ ( - 3 )   e   x = 3

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )