Determine se as seguintes funções são contínuas em D ( f ) :

b )   g x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x ≠ 3 3 ,     s e   x = 3  

Passo 1

Oi pessoal, tudo tranquilo? O problema nos deu essa função definida por partes aqui

g x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x ≠ 3 3 ,     s e   x = 3

E quer saber se é contínua

Mas você lembra quais os critérios para a continuidade de uma função?

São esses três:

  1. Os limites laterais devem existir (não ser ) e serem iguais lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )
  2. Deve existir a função aplicada no ponto f ( a )
  3. E os resultados de ( 1 ) e ( 2 ) devem ser iguais!

E encontrar o domínio de uma função, você lembra?

O domínio de uma função é o conjunto no qual a função “existe”. Ou seja, precisamos encontrar onde a função tem problemas e retirar do conjunto dos reais!

As funções têm problemas em dois pontos

  1. Divisão por zero
  2. Raiz (de índice par) de número negativo

Tirando os pontos onde isso pode acontecer, então o restante será o domínio da função!

Então é isso, vamos usar esses dois conceitos para verificar se a função dada é contínua em seu domínio!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você! Bora lá?

Passo 2

Nossa função é definida em duas partes

g x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x ≠ 3 3 ,     s e   x = 3

x = 3 a primeira parte da função apresenta um zero no denominador, mas a função não tem essa cara nesse ponto! Em x = 3 a função assume um valor constante de 3 !

Então o problema que teríamos, não temos mais! E o domínio dessa função é

D o m g = R

A função é válida em qualquer ponto! Tudo bem até aqui?

Passo 3

Nosso próximo passo é avaliar se em torno de x = 3 ela é continua! Isso significa que os limites laterais devem valer o mesmo valor, e ser igual à função em 3 , ou seja

lim x → 3 + ⁡ g ( x ) = lim x → 3 - ⁡ g ( x ) = g ( 3 )

No entanto, pela definição da nossa função, sabemos o valor de g ( 3 ) :

g x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x ≠ 3 3 ,     s e   x = 3

Temos que f 3 = 3 . Então precisamos verificar se para x ≠ 3 , mas em torno de x = 3 ,e ssa função assume o valor de 3 .

Vamos começar calculando o limite pela direita

lim x → 3 + ⁡ g ( x ) = lim x → 3 + ⁡ x 2 - 9 x - 3 = 0 0

Opa encontramos uma indeterminação! Isso significa que precisamos manipular a função até sair daqui!

Note que ( x 2 - 9 ) é um binômio quadrado perfeito, então podemos fatorar

x 2 - 9 = ( x - 3 ) ( x + 3 )

Assim podemos simplificar nossa função

x 2 - 9 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) x - 3 = x + 3

Voltando para o limite

lim x → 3 + ⁡ g ( x ) = lim x → 3 + ⁡ x 2 - 9 x - 3 = lim x → 3 + ⁡ ( x - 3 ) ( x + 3 ) x - 3 = lim x → 3 + ⁡ x + 3 = 6

Pela direita a função assume o valor de 6 ! E pela esquerda? Também! Podemos refazer os mesmos passos para avaliar o limite pela esquerda

lim x → 3 - ⁡ g ( x ) = lim x → 3 - ⁡ x 2 - 9 x - 3 = lim x → 3 - ⁡ ( x - 3 ) ( x + 3 ) x - 3 = lim x → 3 - ⁡ x + 3 = 6

E vamos encontrar o mesmo resultado!

E o que isso significa? Significa que o limite para x → 3 existe e vale 6 ! Mas infelizmente isso não basta para que a função seja contínua, já que

g 3 = 3

E não 6 !

Sendo assim, a função g ( x ) não é contínua.

Beleza? Vamos para a próxima?

Resposta

n ã o   c o n t í n u a

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )