Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

a) f x ,   y = x y x + y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função é descontínua na origem e determinar se essa descontinuidade é essencial ou removível. Se for removível, definiremos um f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

Mas vamos por partes. Para que a função seja descontínua na origem, temos que o limite da função no ponto ( 0 ,   0 ) precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja,

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f ( x ,   y ) = f ( 0 ,   0 )

Se esse limite existir, teremos uma descontinuidade removível. Se o limite não existir, temos uma descontinuidade essencial.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar vericando a existência do limite:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f ( x ,   y ) = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x + y

Vamos tentar calcular esse limite usando diferentes caminhos que passam pelo ponto ( 0 ,   0 ) para ver se o resultado dos limites serão sempre iguais. Para isso, vamos usar uma reta genérica y = m x . Assim, substituindo no limite, temos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x ( m x ) x + ( m x )

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 m x + m x

Colocando x em evidência e simplificando:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x m x 1 + m

= lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ m ( 1 + m ) = m ( 1 + m )

Como o resultado depende sempre de m , significa que por diferentes caminhos teremos diferentes valores para o limite. Isso contraria a definição de limite, portanto, podemos dizer que o limite não existe. E como o limite não existe, temos uma descontinuidade essencial.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e s c o n t i n u i d a d e   e s s e n c i a l

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )