Para que a função f : R → R seja contínua em R , o valor de m n deve ser:

f x = 3 x 2 - 7 x + 2 ,   s e   x > 1 m x + n ,   s e - 1 ≤ x ≤ 1 s e n π x 2 ,   s e   x < - 1

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Você se lembra o que faz uma função ser contínua? Essa é a primeria pergunta que você tem que se fazer nessa questão!

Bem, se você não se lembra, eu vou refrescar a memória. Para que f seja contínua em toda a reta devemos ter:

lim x → x 0 ⁡ f x = f x 0

Vamos partir desse princípio, ou seja, o limite da função com sua variável tendendo a um valor deve ser igual a eu pegar a função e só substituir sua variável pelo valor que eu fiz o limite tender.

Bugou aí a cabeça? Vem comigo que te explico no caminho!!

Passo 2

Para cada x 0 ∈   R , x 0 ≠ ± 1 , existe um intervalo aberto centrado em x 0 onde a expressão de f é um polinômio ou uma função trigonométrica, ou seja, são tipos de funções que são contínuas por natureza.

Passo 3

Se x 0 = 1 ou x 0 = - 1 temos que a função f x = m x + n e vai ter os valores:

f 1 = m + n

f - 1 = - m + n

Perceba que isto é a mesma coisa que escrever pela aplicação do nosso teorema lá no início:

lim x → 1 + ⁡ f x = m + n = - 2

De onde saiu esse - 2 ? Tá vendo que o x está se aproximando por valores maiores que 1, né? Então eu tô usando o polinômio, ou seja:

lim x → 1 + ⁡ 3 x 2 - 7 x + 2 = - 2

Analogamente, podemos fazer:

lim x → 1 - ⁡ f x = - m + n = - 1

Passo 4

Opa, agora temos um sistema de equações:

m + n = 2

- m + n = - 1

Somando uma equação com a outra, temos:

2 n = 1

n = 1 2

Logo, podemos encontrar m , tal que:

m + 1 2 = 2

2 m + 1 = 4

m = 3 2

Portanto,

m n = 3 2 1 2 = 3 4

Showww! Chegamos na nossa resposta! Curtiu?

Vamos pra próxima questão!!

Resposta

3/4

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )