Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos pontos de

seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

e) f : ℝ → ℝ dada por:

Passo 1

Falaaaa, meu povo lindo!! Quais as novidades por aí, além de que o Responde Aí tá te deixando suuuper confiante nas matérias?? Hmm, então bora ficar em mais uma, com essa questão??

Bom, nossa questãozinha quer que esbocemos o gráfico de uma função por partes e que em seguida verifiquemos se a nossa função em questão é contínua. Vocês estão prontas, crianças???

Eu não ouvi direito!!!!

Passo 2

A nossa função f é uma função com domínio e imagem no conjunto dos números reais. Não só mas também, a função f ( x ) é uma função por partes, ou seja, para cada intervalo no domínio a função muda de “cara”. E agora?? Como fazemos o gráfico??

Como a função é definida por partes, iremos também fazer o esboço do gráfico por partes.

Passo 3

Passo 4

Como já tiveram um tempinho para pensar em como construir o gráfico, agora faremos juntinhoss!!! Como já mencionado no passo anterior vamos fazer o gráfico de acordo com os intervalos da nossa função, ou seja, para x   ≠   3 temos que a função f se comporta como f ( x )   =   2 x   -   8 . Assim, visualmente já é possível perceber que se trata de uma função modular, justo pela presença do módulo. Logo, já imagina-se que o gráfico para este intervalo não possui imagens negativas. Além disso, temos que dentro do módulo há uma função linear do tipo   a x   + b . Em síntese, o gráfico será uma reta e destaca-se que essa reta não irá passar pelo eixo Y negativo.

Para nos auxiliar na construção do gráfico utilizaremos uma tabela suporte:

Como eu disse ao ligar as coordenadas cartesianas teremos uma função linear 2 x   - 8 , más queremos o módulo dessa função, ou seja, 2 x - 8 . Então é como se tivéssemos um espelho no eixo x, e a nossa função linear fosse um feixe de luz.

Assim, que a feixe de luz encontra o espelho sofre reflexão mudando dessa forma sua direção e sentido. Portanto, a trajetória da luz será como o esboço do nosso gráfico para esse intervalo.

Passo 5

Agora iremos fazer o mesmo passo a passo anterior.

Segundo para o intervalo onde x   =   3   . Trata-se de uma função constante.

A função em questão é: f ( x )   =   2 .

Assim, o gráfico final terá esse aspecto:

Passo 6

E em relação a continuidade? Vocês acham que essa função é contínua ou não???

Uma função f é contínua num ponto a de seu domínio quando l i m x → a =   f ( a ) . Quando f é contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua.

Assim, sabemos que o domínio de f são os números reais e pelo gráfico esboçado no passo anterior, vemos que para cada ponto do domínio de f existe um l i m x → a =   f ( a ) . Até mesmo quando o x   =   3 , temos que a função f ( x ) se aproxima do valor 2 por ambos os lados. Portanto, a função f é contínua.

outro modo:

Uma forma mais simples e menos “formal” de verificar que essa função é contínua é o fato de gráfico ser contínuo. Em síntese, não tem espacinhos no gráfico. Simples né???

E aí? Essa resolução te ajudou? Responde Aí!

Bons Estudos!

Resposta

Resolução nos passos acima

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )