Resolva os itens abaixo justificando detalhadamente suas soluções.

( a ) A função definida por f x = x 2 - 1 x - 1 para x ≠ 1 e f 1 = 2 é contínua em x = 1 ?

Passo 1

O que ele nos disse de forma escrita ali no enunciado é a mesma coisa que dizer isso:

f x = x 2 - 1 x - 1 ,           x ≠ 1 2 ,                                     x = 1

Repara que essa função do módulo pode ser aberta assim:

x 2 - 1 = x 2 - 1 ,                           x < - 1 ; x > 1 - x 2 - 1 ,           - 1 ≤ x < 1

Se dividirmos todo esse módulo por ( x - 1 ) Olha como fica:

x 2 - 1 x - 1 = x 2 - 1 x - 1 ,                             x < - 1   ;   x > 1 - x 2 - 1 x - 1 ,                       - 1 ≤ x < 1

= x + 1 ,                             x < - 1   ;   x > 1 - ( x + 1 ) ,                       - 1 ≤ x < 1

Logo, podemos reescrever f ( x ) de um jeito muito mais claro:

f x = x + 1 ,                             x < - 1   ;   x > 1 - ( x + 1 ) ,                       - 1 ≤ x < 1 2 ,                                                                           x = 1

Tranquilo? Agora a questão está bem mais tranquila de trabalhar.

Passo 2

Precisamos garantir a continuidade em x = 1 , ou seja, queremos que:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = f 1

Logo antes de x = 1 f ( x ) vale - ( x + 1 ) e logo depois vale ( x + 1 ) , com f 1 = 2 :

lim x → 1 + ⁡ ( x + 1 ) = lim x → 1 - ⁡ - ( x + 1 ) = 2

1 + 1 = - 1 + 1 = 2

2 = - 2 = 2

Deu ruim! Isso aí está errado, a igualdade não existe. Assim, concluímos: f ( x ) não é contínua em x = 1 .

Resposta

f x   é   d e s c o n t í n u a   e m   x = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )